實系數(shù)二次方程實根分布問題中參數(shù)范圍的求法

陳群

確定實系數(shù)二次方程實根分布問題中參數(shù)的取值范圍是高中數(shù)學的重點和難點，也是歷年高考考查的熱點，它涉及的數(shù)學思想方法較多，綜合性較強。解決此類問題的主要思路是：從對應函數(shù)的開口方向、特殊點的函數(shù)值的正負、對稱軸的位置、判別式與0的關(guān)系等幾個角度綜合考慮后構(gòu)建充要條件，從而求出參數(shù)的取值范圍。現(xiàn)結(jié)合實例介紹幾種題型及其求解策略，供大家參考。

為敘述方便，現(xiàn)約定：當實系數(shù)二次方程ax?+bx+c=0（a≠O）有兩個實根時，這兩個實根分別為x1、x2。

類型一：方程的兩個實根均小于常數(shù)k

此種類型的求解策略是：令f（X）=ax?+bx+

例1 已知關(guān)于x的方程（1+a）X?-3ax+4a=O的所有根均小于1，求實數(shù)a的取值范圍。

解：若l+a=O，即a=-l，則方程（l+a）x?-3ar+4a=0即為3x-4 =0，其根為，不滿足題意，所以a≠-1。

令

由題意可知：

解得。

因此實數(shù)a的取值范圍為。

變式：已知|a|=1，且方程ax?-2x-b+5=0有兩個負實數(shù)根，求實數(shù)b的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得5評析：上述變式相當于方程的兩個實根均小于0，因此構(gòu)建充要條件的方式不變。

類型二：方程的兩個實根均大于常數(shù)k

此種類型的求解策略是：令c，則

例2 已知一元二次方程mx?-（m+1）x+3=O的兩個實根都大于-1，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得m<-2或，因此實數(shù)m的取值范圍為。

變式：已知一元二次方程（m-l）X?+2（m+l）x-m=0有兩個正根，求實數(shù)m的取值范圍。

解：令

由題意可知：

解得O

評析：例5及其兩個變式實質(zhì)上代表了“解在區(qū)間內(nèi)”與“在區(qū)間內(nèi)有解”這兩類極易混淆的問題，而兩個變式的區(qū)別是前者對稱軸確定，后者對稱軸待定，當然變式1也可以借鑒變式2的解法，在此不作贅述，請讀者自己嘗試。……