數(shù)形結(jié)合思想融入初中數(shù)學(xué)教學(xué)芻議

張鵬玖

【摘要】 在教育改革的推動下，素質(zhì)教育更加關(guān)注學(xué)生的自主學(xué)習(xí)能力和創(chuàng)新能力，這要求教師引導(dǎo)學(xué)生在學(xué)習(xí)的同時掌握學(xué)習(xí)方法. “數(shù)形結(jié)合”以其形象、直觀的方式吸引著學(xué)生上課的注意力，也培養(yǎng)了他們的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)興趣. 了解數(shù)形結(jié)合思想，探究其在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的具體應(yīng)用，對于教學(xué)質(zhì)量的提高具有重要意義.

【關(guān)鍵詞】 數(shù)形結(jié)合思想；數(shù)形結(jié)合應(yīng)用；主動學(xué)習(xí)；教學(xué)質(zhì)量

教育改革的目的在于學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)和提高，為順應(yīng)創(chuàng)新型社會的發(fā)展要求，教育改革更加關(guān)注學(xué)生創(chuàng)新能力的培養(yǎng). 因此，在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，教師不僅要教會學(xué)生知識，更要讓他們掌握學(xué)習(xí)方法，做到“舉一反三”. “數(shù)形結(jié)合”不僅是一種教學(xué)方法，更是一種學(xué)習(xí)方法，其應(yīng)用范圍不僅體現(xiàn)在代數(shù)問題的解決，而且在幾何圖形的學(xué)習(xí)上也被多次使用. 了解數(shù)形結(jié)合的思想以及它在解決初中數(shù)學(xué)問題中的應(yīng)用，能夠讓學(xué)生在枯燥無味的學(xué)習(xí)中找到樂趣，主動學(xué)習(xí).

一、“數(shù)形結(jié)合”思想的初步探索

數(shù)形結(jié)合是指將抽象的數(shù)學(xué)語言與直觀的圖形結(jié)合起來[1]，把代數(shù)的精確刻畫與幾何的形象直觀相統(tǒng)一，將抽象思維與形象直觀相結(jié)合的一種思想方法，其實(shí)質(zhì)是代數(shù)問題與幾何問題的相互轉(zhuǎn)化. 這種思想的精髓在于更加形象、直觀地理解數(shù)學(xué)，培養(yǎng)學(xué)生的觀察力，并通過分析、討論的方法解決數(shù)學(xué)問題.

數(shù)形結(jié)合既是一種教學(xué)方法，也是一種學(xué)習(xí)方法. 教學(xué)方法對于教師而言，就是在教學(xué)過程中所使用的方法，借此教會學(xué)生知識. “數(shù)形結(jié)合”是一種教學(xué)方法，用形象的圖形表示抽象的數(shù)量之間的關(guān)系，老師用這種方法提高教學(xué)質(zhì)量的同時，也幫助學(xué)生更好地學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)知識，將復(fù)雜問題簡單化處理，激發(fā)他們的數(shù)學(xué)興趣. 學(xué)習(xí)方法對于初中生而言，是在學(xué)習(xí)過程中掌握的學(xué)習(xí)技巧和方法，從而減輕學(xué)習(xí)壓力. “數(shù)形結(jié)合”亦是一種學(xué)習(xí)方法，數(shù)學(xué)知識由抽象到形象的過程，也是學(xué)生理解題意的過程，學(xué)生在主動學(xué)習(xí)的過程中，將“數(shù)”和“形”靈活轉(zhuǎn)換，整理做題思路，在提高做題速度的同時，保證做題質(zhì)量，從而在解決數(shù)學(xué)問題的過程中給自己信心.

初中數(shù)學(xué)以代數(shù)和幾何為主，“數(shù)”與“形”的結(jié)合也就是“代數(shù)”和“幾何”的結(jié)合，其內(nèi)容包括[2]：（1）建立適當(dāng)?shù)拇鷶?shù)模型（主要是方程、不等式或函數(shù)模型），（2）建立幾何模型（或函數(shù)圖像）解決有關(guān)方程和函數(shù)的問題. （3）與函數(shù)有關(guān)的代數(shù)、幾何綜合性問題. （4）以圖像形式呈現(xiàn)信息的應(yīng)用性等問題. 所以，了解數(shù)形結(jié)合的思想，并將其運(yùn)用到具體數(shù)學(xué)問題解決中，對于初中數(shù)學(xué)知識的掌握具有重要作用.

二、“數(shù)形結(jié)合”在解決初中數(shù)學(xué)問題時的具體運(yùn)用

（一）數(shù)形結(jié)合在初中代數(shù)中的運(yùn)用

代數(shù)問題是初中數(shù)學(xué)的重點(diǎn)和難點(diǎn)之一，過于抽象，許多學(xué)生在答題過程中無從下手，我將介紹幾例代數(shù)題型來幫助大家更好地理解數(shù)形結(jié)合在代數(shù)問題中的具體運(yùn)用方法.

例1 已知， x ≥ 0，y ≥ 0，且，x + 2y = 1，求x2 + y2 的最大值與最小值.

分析 單純的使用代數(shù)方法進(jìn)行求解，可以采用消元法，將x + 2y = 1轉(zhuǎn)化為x = 1 - 2y①，然后采用代入法，將①式代入x2 + y2 中進(jìn)行一元二次方程的求解（注意定義域和值域的范圍），這種解題方法較為復(fù)雜且抽象，而且在求解過程中極易出現(xiàn)錯誤. 我們可以采用數(shù)形結(jié)合的方法來解決，如圖所示.

我們可以建立直角坐標(biāo)系，x + 2y = 1可以表示為一條直線，由于 x ≥ 0，y ≥ 0 所以，該代數(shù)表達(dá)式可以用線段AB表示；x2 + y2則可以表示為線段AB 上點(diǎn)（x，y）到原點(diǎn)的距離■的平方. 根據(jù)公式求得線段AB 上的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離最小值為OQ = ■，距離最大值為OA = 1，所以，x2 + y2 的最大值為1，最小值為■.

根據(jù)上題純代數(shù)法和數(shù)形結(jié)合方法的比較，我們可以看出：第二種方法更為直觀、易懂，能大大提高學(xué)生的學(xué)習(xí)效率. （二）數(shù)形結(jié)合在初中幾何中的運(yùn)用

幾何雖然表現(xiàn)的較為直觀，但初中幾何知識點(diǎn)的掌握，也常常和代數(shù)知識點(diǎn)融合在一起，作為中考的必考知識點(diǎn)，經(jīng)常會讓學(xué)生抓狂，圖形與直角坐標(biāo)系結(jié)合，函數(shù)的加入更是讓題目的難度加大. 下面就拿一個題型作為數(shù)形結(jié)合的范例，讓學(xué)生在面臨高難度題型時學(xué)會靈活使用數(shù)形結(jié)合，不再懼怕數(shù)學(xué)，提高做題速度和質(zhì)量.

（三）數(shù)形結(jié)合在初中應(yīng)用題中的運(yùn)用

在初中數(shù)學(xué)中，應(yīng)用題是考試中的重要內(nèi)容[3]. 因此，加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)方法改進(jìn)很有必要.加強(qiáng)應(yīng)用題的教學(xué)力度，不僅為了提高學(xué)生的考試成績，更為了使學(xué)生對數(shù)學(xué)知識進(jìn)行更好地理解，加強(qiáng)其對數(shù)學(xué)知識的應(yīng)用能力. 這也是初中數(shù)學(xué)應(yīng)用題對學(xué)生考查的兩大目標(biāo). 數(shù)形結(jié)合能夠讓冗長的題目變得更加簡單，比如：一個容器盛滿純藥液63升，第一次倒出一部分純藥液后，用水加滿，第二次又倒出同樣多的藥液，再用水加滿，這時容器內(nèi)剩下的純藥液是28升，每次倒出液體多少升？這道題僅憑想象很難快速完成，學(xué)生需要畫出容器以及液體的容積是多少，這樣可以明白、直接的理解題目要求，分析題目要求中各要素之間的關(guān)系，更好地解決問題. 這也體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合的思想.

三、“數(shù)形結(jié)合”思想的推廣

在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中，數(shù)形結(jié)合的思想能夠有效啟發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)的思路，幫助學(xué)生全面分析題意，進(jìn)而作出準(zhǔn)確的思考和解答[4]，擁有著獨(dú)特的、重要的教學(xué)作用. “數(shù)形結(jié)合”思想在初中數(shù)學(xué)教學(xué)中的推廣，不僅能夠讓學(xué)生輕松接受老師所講的知識，也進(jìn)一步促進(jìn)了學(xué)生自主學(xué)習(xí)能力的培養(yǎng)，提高學(xué)習(xí)效率.

隨著教學(xué)改革的不斷深入，初中數(shù)學(xué)教學(xué)會越來越要求多樣化的教學(xué)模式，這要求老師不斷充實(shí)自己，運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的思想讓抽象數(shù)學(xué)變得生動、有趣，從而提高教學(xué)質(zhì)量.