拋物線中另一類的定點弦問題

張武黨

【摘 要】拋物線是圓錐曲線中較為特殊的一種曲線。焦點弦、定點弦等是圓錐曲線中常見的一類問題。

利用向量的知識解決解析幾何問題是新課程，新教材所賦予的新解法。

【關(guān)鍵詞】拋物線；定點；垂直；通徑

定理1：已知EF是與拋物線C：y2=2px（p>0）相交的一條動直線，AB是拋物線的通徑，A（p/2，p），B（p/2，-p）

（1）當(dāng)，其中時，直線EF過定點M（5p/2，-p）

（2）當(dāng)，其中時，直線EF過定點N（5p/2，p）

定理2：（1）若拋物線C：y2=2px（p>0）的一條動直線過M（5p/2，-p），與拋物線交于E，F(xiàn)兩點，點A是拋物線通徑的一個端點坐標(biāo)為（p/2，p），則必有：

（2）若拋物線C：y2=2px（p>0）的一條動直線過N（5p/2，p），與拋物線交于E，F(xiàn)兩點，點B是拋物線通徑的一個端點坐標(biāo)為（p/2，-p），則必有：

先證明定理1，

證明：由題意可設(shè)：

直線AE的方程為： ①

直線AF的方程為： ②

由直線AE的方程和拋物線C的方程y2=2px（p>0）聯(lián)立：

{

y2=2px

解之得：E點坐標(biāo)為（ ， ）， A（p/2，p）

由直線AF的方程和拋物線C的方程y2=2px（p>0）聯(lián)立：

{

y2=2px

解之得：F點坐標(biāo)為（，-2kp，p），A（p/2，p）

則=（），

=（2k2p+2kp-2p，-2kp）

又因為：

（）*（-2kp）=

（2k2p+2kp-2p）*=

所以：（）*（-2kp）= （2k2p+2kp-2p）*

所以：//

又與共點M

所以：M，E，F(xiàn)三點共線。即直線EF過定點M（5p/2，-p）。

同理，可證明（2）也成立。

定理2可看成定理1的逆定理。下證之：

證明：由題意知過點M的直線與拋物線交與兩點，所以直線不平行于x軸。

可設(shè)直線方程為： （m∈R）

與拋物線方程聯(lián)立構(gòu)成方程組

{

y2=2px

消去x得：y2=2pmy+2mp2+5p2

移項得：y2-2pmy-2mp2-5p2=0

解之得：y1=pm + p；y2= pm-p

帶入解得：X 1= pm2 + pm+ mp +

X2= pm2 -pm+ mp +

即點E的坐標(biāo)為：（pm2 + pm+ mp + ，pm + p）

點F的坐標(biāo)為：（pm2-pm+ mp + ，pm-p）

則：=（pm2 + pm+ mp+2p，pm + p - p）

= （pm2 -pm+ mp+2p， pm - p - p）

因為（pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2-pm+ mp+2p）

=（pm2 + mp+2p）2 -（pm）2

= p2m4+2p2m3+p2m2+4p2+4p2m2+4p2m-p2m4 -2p2m3 -5p2m2

= 4 p2m+4p2

（pm + p-p）*（pm-p-p）

=（pm-p）2 -（p）2

= p2m2-2 p2m + p2-p2m2-2 p2m-5p2

=-4 p2m-4p2

所以（pm2 + pm+ mp+2p）*（pm2-pm+ mp+2p）

=-（pm + p-p）*（pm-p-p）

即：

同理可證（2）也成立。

由作圖我們會發(fā)現(xiàn)，由A，B，M，N四點所確定的四邊形是以拋物線通徑為邊長，在拋物線內(nèi)的正方形。連接對角線AM或BN并延長交拋物線分別于P，Q點，則M是線段AP的中點，N是線段BQ的中點。

參考文獻：

[1]駱永明.《圓錐曲線中定點與定向弦的探究》.數(shù)學(xué)通訊，2005（9），證明過程見：2005年第21期13頁