一種導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)快速判斷方法

李士剛，盧元磊

(1.海軍駐上海地區(qū)航天系統(tǒng)軍代室，上海 200000; 2.江蘇自動(dòng)化研究所，江蘇連云港 222006)

用仿真手段統(tǒng)計(jì)導(dǎo)彈對(duì)目標(biāo)的捕獲概率是一種常用的方法［1］。仿真的過(guò)程要盡可能地反映出目標(biāo)真實(shí)的捕獲情況，同時(shí)又要考慮仿真算法的復(fù)雜程度。實(shí)際中影響導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)的因素眾多，如目標(biāo)的動(dòng)力學(xué)因素、導(dǎo)彈的動(dòng)力學(xué)因素及環(huán)境對(duì)導(dǎo)彈末端制導(dǎo)能力的影響等［2］，如果在仿真過(guò)程中將這些因素全部考慮在內(nèi)，則將使得仿真過(guò)程極其復(fù)雜，甚至很難進(jìn)行數(shù)學(xué)仿真［3］。一般情況下，會(huì)簡(jiǎn)化仿真模型，認(rèn)為目標(biāo)和導(dǎo)彈都按某種理論曲線航行(如直線、圓弧、拋物線等)。

1 問(wèn)題描述

設(shè)導(dǎo)彈的導(dǎo)引頭的視場(chǎng)是α ° ×β °，掃描半徑為D km的一個(gè)規(guī)則多面體［5］。

對(duì)導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)進(jìn)行判斷有2 類方法，第一類是仿真計(jì)算方法。在導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的每個(gè)探測(cè)周期Δt 內(nèi)，計(jì)算目標(biāo)和導(dǎo)彈的相對(duì)位置關(guān)系，算出目標(biāo)相對(duì)于導(dǎo)彈的距離、方位角和俯仰角，然后與導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的探測(cè)性能進(jìn)行比對(duì)，判斷目標(biāo)是否進(jìn)入到導(dǎo)彈自導(dǎo)扇面。這種方法最為樸素和直觀，但是在進(jìn)行大量蒙特卡洛仿真時(shí)，這種方法的計(jì)算量是相當(dāng)可觀的［6］。

另一種判斷方法是數(shù)學(xué)解析計(jì)算。相對(duì)于導(dǎo)彈與目標(biāo)的距離和導(dǎo)引頭的探測(cè)距離，目標(biāo)的體積是可以忽略的，為了計(jì)算方便，將目標(biāo)視為一個(gè)點(diǎn)目標(biāo)［4］。解析方法需要給出導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的視場(chǎng)和目標(biāo)點(diǎn)的解析表達(dá)式，然后通過(guò)解方程判斷探測(cè)區(qū)域與目標(biāo)點(diǎn)是否有交點(diǎn)，導(dǎo)引頭的探測(cè)區(qū)域是三維空間中的一個(gè)運(yùn)動(dòng)多面體，對(duì)其進(jìn)行數(shù)學(xué)解析描述是很復(fù)雜的，因此完全的數(shù)學(xué)解析方法，在實(shí)際中很難應(yīng)用。

針對(duì)這種情況，本文提出了一種新的導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)判斷方法，該方法結(jié)合了仿真計(jì)算方法和數(shù)學(xué)解析的特點(diǎn)。下面將對(duì)其進(jìn)行詳細(xì)闡述。

2 導(dǎo)彈與目標(biāo)的相對(duì)關(guān)系

相對(duì)于判斷一個(gè)空間體與一個(gè)空間點(diǎn)的位置關(guān)系，空間中2 個(gè)運(yùn)動(dòng)點(diǎn)的位置關(guān)系判斷要簡(jiǎn)單的多。基于這種想法，選取了探測(cè)區(qū)域內(nèi)的2 個(gè)特殊點(diǎn)進(jìn)行預(yù)判斷。這2 個(gè)特殊點(diǎn)分別是導(dǎo)引頭視場(chǎng)的內(nèi)切圓和外接圓。

為了使描述更加清晰，目標(biāo)點(diǎn)和導(dǎo)引頭探測(cè)區(qū)域的剖面位置關(guān)系可參見(jiàn)圖1 和圖2 所示。

圖1 導(dǎo)引頭掃描區(qū)域外接圓示意圖

扇形OAB 是導(dǎo)引頭的探測(cè)區(qū)域的剖面示意圖，球o1(t)是探測(cè)區(qū)域的外接圓，半徑為r1，p(t)點(diǎn)表示目標(biāo)點(diǎn)。

圖2 導(dǎo)引頭掃描區(qū)域內(nèi)切圓示意圖

球o2(t)是探測(cè)區(qū)域的內(nèi)切圓，半徑為r2。顯然，球o1(t)能夠完全包含導(dǎo)引頭的探測(cè)區(qū)域，球o2(t)能完全被導(dǎo)引頭的探測(cè)區(qū)域包含。

顯然，只要目標(biāo)能進(jìn)入內(nèi)切圓，則必定能夠被導(dǎo)彈捕獲，;只要目標(biāo)不能進(jìn)入外接圓，則必定不能被導(dǎo)彈捕獲。通過(guò)該預(yù)判，可以將相當(dāng)一部分的空間體與空間點(diǎn)的位置關(guān)系計(jì)算簡(jiǎn)化為空間中2 個(gè)點(diǎn)的關(guān)系判斷，這將大大降低計(jì)算量，而且該方法易于實(shí)現(xiàn)。

3 捕獲判別

假設(shè)導(dǎo)彈從發(fā)射到探測(cè)捕獲到目標(biāo)這段時(shí)間內(nèi)是按照勻速直線運(yùn)動(dòng)飛行的;導(dǎo)彈打擊目標(biāo)往往會(huì)選擇目標(biāo)處于勻速運(yùn)動(dòng)的階段內(nèi)，因此在本文中將導(dǎo)彈和目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)狀態(tài)都按照勻速直航處理。

目標(biāo)位置點(diǎn)p(t)、導(dǎo)引頭探測(cè)區(qū)域外接圓圓心o1(t)和內(nèi)切圓圓心o2(t)都是關(guān)于時(shí)間的函數(shù)。設(shè)導(dǎo)彈發(fā)射的時(shí)刻為t=0，在t ＞0 的時(shí)間內(nèi)，如果目標(biāo)點(diǎn)p(t)與o1(t)點(diǎn)的最小距離大于r1，那么p(t)點(diǎn)肯定不能進(jìn)入探測(cè)區(qū)域，即可判斷捕獲失敗;如果p(t)與o2(t)的最小距離小于r2，那么p(t)點(diǎn)肯定能進(jìn)入探測(cè)區(qū)域，即可判斷捕獲成功。

設(shè)目標(biāo)位置點(diǎn)p(t)點(diǎn)的坐標(biāo)為:(xp(t)，yp(t)，zp(t));導(dǎo)彈o(t)點(diǎn)的坐標(biāo)為:(xo(t)，yo(t)，zo(t));外接圓心o1(t)點(diǎn)的坐標(biāo)為:(xo1(t)，yo1(t)，zo1(t));內(nèi)切圓圓心o2(t)的坐標(biāo)為:(xo2(t)，yo2(t)，zo2(t))。

目標(biāo)位置點(diǎn)p(t)點(diǎn)與圓心o1(t)點(diǎn)的距離為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)do1p(t)

其中，令

則有

可知外切圓圓心與目標(biāo)距離的平方是關(guān)于時(shí)間t 的一元二次函數(shù)，該函數(shù)存在最小值點(diǎn)，當(dāng)t ＞0 時(shí)，若該函數(shù)的最小值大于則表明目標(biāo)不可能進(jìn)步導(dǎo)彈的探測(cè)范圍內(nèi)，必然捕獲失敗;若最小值小于，則結(jié)果待定。即判斷不等式是否有解

若該不等式無(wú)解，則必捕獲失敗;若有解，則結(jié)果待定。

目標(biāo)位置點(diǎn)p(t)點(diǎn)與圓心o2(t)點(diǎn)的距離為關(guān)于時(shí)間t的函數(shù)do2p(t)為

其中，令

則有

可知內(nèi)切圓圓心與目標(biāo)的距離函數(shù)的平方是一元二次函數(shù)，該函數(shù)存在最小值，當(dāng)t ＞0 時(shí)，若該函數(shù)最小值小于，則目標(biāo)必然會(huì)進(jìn)入導(dǎo)彈的探測(cè)范圍，捕獲成功;若最小值大于則結(jié)果待定。問(wèn)題即轉(zhuǎn)化為判斷下不等式是否有解

若該不等式有解，則必捕獲成功;若無(wú)解，則結(jié)果待定。

綜上所述，結(jié)合2 種情況，可給出如下的判別規(guī)則:

1)如果a1t2+b1t+c1≤無(wú)解，則給出結(jié)論:捕獲目標(biāo)失敗;

2)如果a2t2+b2t+c2≤有解，則給出結(jié)論:捕獲目標(biāo)成功;

4 仿真分析

仿真條件設(shè)置:目標(biāo)距離導(dǎo)彈發(fā)射點(diǎn)的距離為400 km，方位為0°，舷角0°，目標(biāo)以9 km 的高度保持勻速巡航，航速為550 km/h。導(dǎo)彈發(fā)射后根據(jù)目標(biāo)指示的方位和俯仰角以3 馬赫的速度勻速直線飛向目標(biāo)，設(shè)導(dǎo)彈導(dǎo)引頭的探測(cè)距離為100 km，水平視角為60°，俯仰視角為30°，掃描周期為0.1 s，導(dǎo)彈發(fā)射后導(dǎo)引頭即開機(jī)。

進(jìn)行1 000 次蒙特卡洛仿真，統(tǒng)計(jì)結(jié)果如表1 所示。可以看出新方法統(tǒng)計(jì)的捕獲成功概率與傳統(tǒng)的仿真方法是基本一致的，因此新方法能有效地判別導(dǎo)彈能否捕獲目標(biāo)。

對(duì)該態(tài)勢(shì)進(jìn)行分析可以看出，導(dǎo)彈從發(fā)射到發(fā)現(xiàn)目標(biāo)需要飛行約274 s，在這段時(shí)間內(nèi)傳統(tǒng)的仿真方法需要根據(jù)導(dǎo)彈和目標(biāo)的相對(duì)位置進(jìn)行不斷地計(jì)算和判斷，在單次仿真中，就需要對(duì)目標(biāo)的方位角、俯仰角和相對(duì)距離進(jìn)行2740 次計(jì)算和判斷，而且這些計(jì)算大部分是三角函數(shù)計(jì)算，在多次仿真的情況下，其計(jì)算量是相當(dāng)可觀的。而新方法只結(jié)合了數(shù)學(xué)解析法的優(yōu)點(diǎn)，首先對(duì)兩個(gè)二次不等式a1t2+b1t +c1≤進(jìn)行預(yù)判斷，以方位誤差為2°的情況為例，經(jīng)過(guò)預(yù)判后共967 次仿真被一次性判斷出捕獲是否成功，極大地減少了仿真的計(jì)算量。

表1 捕獲概率統(tǒng)計(jì)結(jié)果

5 結(jié)論

為了更好地處理仿真過(guò)程中導(dǎo)彈捕獲目標(biāo)的判斷問(wèn)題，提出了一種新的捕獲判斷方法，新方法結(jié)合了仿真計(jì)算方法和數(shù)學(xué)解析方法的特點(diǎn)。通過(guò)仿真結(jié)果可以看出新方法是有效的，而且具有簡(jiǎn)單易用的優(yōu)點(diǎn)，且有效減少了仿真計(jì)算的次數(shù)。這里需要說(shuō)明的是這種新方法可應(yīng)用于多種末制導(dǎo)導(dǎo)彈的目標(biāo)捕獲仿真判斷，而且目標(biāo)的運(yùn)動(dòng)形式并不僅僅限于勻速直線運(yùn)動(dòng)。

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