多種方法解“婦人洗碗問題”

張小艷

《張丘健算經(jīng)》中有一道“婦人洗碗問題”：有一個(gè)婦女在河邊洗碗，旁人問她：“為什么洗這么多碗？”婦女說：“家里來了客人。”旁人又問：“有多少客人？”婦女回答：“2人共用一個(gè)飯碗，3人共用一個(gè)湯碗，4人共用一個(gè)肉碗，總共用了65個(gè)碗。你說說，有多少客人？”

這道題的解法很多，下面從不同的角度來分析。

【解法1】歸一法 因?yàn)椤?人共用一個(gè)飯碗”，即平均每個(gè)人用飯碗個(gè)；“3人共用一個(gè)湯碗”，即平均每個(gè)人用湯碗個(gè)；“4人共用一個(gè)肉碗”，即平均每個(gè)人用肉碗個(gè)。因此，平均每個(gè)人共用碗++= （個(gè)）。再求出65里有幾個(gè)，就求出了客人的總數(shù)，即65€？ 60（人）。

【解法2】分組法 “2人共用一個(gè)飯碗，3個(gè)共用一個(gè)湯碗，4人共用一個(gè)肉碗”，最少要多少人才能保證用的各種碗都是整數(shù)個(gè)？我們知道2、3、4的最小公倍數(shù)是12，所以我們可以把12人編為一組。每組用飯碗12€？=6（個(gè)），湯碗12€？=4（個(gè)），肉碗12€？=3（個(gè)），共用碗6+4+3=13（個(gè)）。65個(gè)碗可供65€？3=5（組）人使用。因?yàn)槊拷M12人，所以客人共有12€？=60（人）。

【解法3】假設(shè)法 因?yàn)榭腿说娜藬?shù)和碗的個(gè)數(shù)都應(yīng)為整數(shù)，所以由“2人共用一個(gè)飯碗，3人共用一個(gè)湯碗，4人共用一個(gè)肉碗”可知，客人的總數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)，我們不妨假設(shè)是12人，則他們共用碗12€？+12€？+12€？=13（個(gè)）。按假設(shè)客人數(shù)求出的碗數(shù)（13）相當(dāng)于實(shí)際碗數(shù)（65）的 ，說明假設(shè)的客人數(shù)也相當(dāng)于實(shí)際人數(shù)的 ，因此客人共有12€？=60（人）。

【解法4】份數(shù)法 把肉碗數(shù)看作1份，那么飯碗數(shù)就是4€？=2（份），湯碗數(shù)就是4€？= （份），從而可知碗的總份數(shù)是2+1+ = （份），每份有碗65€？=15（個(gè)），即肉碗有15個(gè)。因?yàn)椤?人共用一個(gè)肉碗”，也就是說客人總數(shù)是肉碗數(shù)的4倍，所以客人共有15€？=60（人）。

【解法5】比例法 因?yàn)椤?人共用一個(gè)飯碗”，即平均每個(gè)人用飯碗個(gè)；“3人共用一個(gè)湯碗”，即平均每個(gè)人用湯碗個(gè)；“4人共用一個(gè)肉碗”，即平均每個(gè)人用肉碗 個(gè)。所以，每個(gè)客人所需飯碗、湯碗、肉碗的比是 ： ： =6：4：3，由此可求得65個(gè)碗中飯碗有65€？30（個(gè)），進(jìn)而求出共有客人30€？=60（人）。

【解法6】方程法 設(shè)客人共有x 人，則他們用了 x 個(gè)飯碗，用了 x 個(gè)湯碗，用了 x 個(gè)肉碗，依題意可得方程： x + x+ x =65。解方程， x=60，即客人共有60人。

【解法7】列表法 因?yàn)榭腿说娜藬?shù)和碗的個(gè)數(shù)都應(yīng)為整數(shù)，所以由“2人共用一個(gè)飯碗，3人共用一個(gè)湯碗，4人共用一個(gè)肉碗”可知，客人的總數(shù)應(yīng)是2、3、4的公倍數(shù)，即12、24、36、48、60、72……。我們可以通過列表的方法找出正確答案：

從表中可以看出，當(dāng)共用65個(gè)碗時(shí)，客人數(shù)是60人。