找次品的竅門

陶云娥

“找次品問題”是數學中的一個經典智力問題。這里探討的是“有n個外表完全一樣的物品，其中一個是次品，它比合格品重（或輕）一些，用一架標準天平，最少稱幾次就一定能找出次品”這種問題。找次品的竅門──最優策略主要基于兩點：（1）把待測物品盡可能平均分成3份；（2）如果不能平均分，就要使多的一份與少的一份只相差1。

【例1】有12顆外形完全相同的珠子，其中11顆是珍珠，另一顆是假珠，假珠比珍珠重。用天平至少稱幾次能保證找到假珠？

【分析與解】可以這樣操作：（1）把12顆珠子平均分成3份，即12（4，4，4），把2份放在天平兩邊稱。如果平衡，假珠在剩下的一份中；如果不平衡，假珠在重的一邊，如圖1。

（2）把有假珠的4顆珠子分成3份，即4（1，1，2），把同樣多的2份（1，1）放在天平兩邊稱。如果不平衡，重的那顆是假珠，這樣2次就找到了；如果平衡，假珠在剩下的2顆中，要繼續找，所以2次不能保證找到假珠。

也可以把有假珠的4顆珠子平均分成2份，即4（2，2），放到天平兩邊，假珠在偏重的一邊，如圖2。

（3）把有假珠的2顆珠子放到天平兩邊，偏重的那顆就是假珠，如圖3。

所以，用天平至少稱3次能保證找到假珠。

【例2】有35個看上去一樣的乒乓球，其中有一個質量較輕的是次品，用天平至少稱幾次能保證找到這個次品？

【分析與解】（1）35不是3的倍數，就把35個乒乓球分成多與少只相差1的3份，即35（12，12，11），把同樣多的2份（12，12）放在天平兩邊。如果不平衡，次品在輕的一邊，接著按例1的方法再操作3次（一共4次）就能保證找到次品；如果平衡，次品在剩下的一份（即11個）中。

（2）把有次品的11個乒乓球分成3份，即11（4，4，3），把同樣多的2份（4，4）放在天平兩邊。如果不平衡，次品就在輕的一邊的4個中，接著按例1中的第（2）、（3）步繼續操作即可，所以至少稱4次能保證找到次品；如果平衡，次品在剩下的3個中，再稱一次就能找到，但這種情況并非一定。