衛星運行的速度、加速度大小的比較

徐君生+陳潤龍

衛星運行問題是近幾年高考的熱點，是高考必考知識點之一，也是力學的重點與難點。這部分知識往往和圓周運動、拋體運動、能量計算等結合起來，能全面考查學生對這些知識點的掌握情況及綜合處理能力。而在公式繁多、變量之間關系復雜的天體運行及衛星運動問題中，速度和加速度是兩個起決定作用的物理量，它們對解決與萬有引力相關的運動學和動力學問題至關重要。本文試就對衛星運行的速度與加速度大小比較的題型、方法做一小結，以期能對物理的教與學起到參考作用。

1.圓軌道運行衛星的速度、加速度大小的比較

（1）衛星運行的三點簡化與三個重要關系式

衛星繞地球運行時有三點簡化：一是近似認為衛星只受到地球的萬有引力，不計阻力以及其它天體對衛星的萬有引力；二是近似認為衛星運行的軌跡為圓；三是忽略地球的自轉與公轉，認為地球是靜止不動的，在三點簡化的基礎上有三個重要關系式：一是在地球表面上，因忽略地球的自轉的影響，所以認為地球對物體的萬有引力就等于物體的重宙速度是指發射人造地球衛星的最小速度，以此速度發射的衛星，距地面的高度也是最低的，最低高度約為零，即其繞地球運行的半徑約等于地球的半徑，所以第三關系式根據

（2）速度與加速度的兩條重要結論

①衛星運行速度：從上述第二關系式不難看出，衛星運行速度與其繞行半徑有關，半徑越大，繞行速度越小；半徑越小，繞行速度越大.故衛星運行速度最快的是繞地球表面運行的衛星，其值為7.9 km/s（即第一宇宙速度）；運行最慢的是地球同步衛星（目前還沒有高度超過同步衛星的人造地球衛星），其值大約為3.1 km/s。地球的天然衛星——月球的高度高于地球同步衛星高度，所以月球繞行速度小于3.1 km/s（即同步衛星的運行速度）。

②衛星運行時的加速度：衛星運行時的加速度有三種說法，一是不加區分就簡稱為加速度；二是強調衛星做圓周運動，稱之為向心加速度；三是從重力角度出發稱之為重力加速度.這三個加速度實際上是一回事，計算式主要是應用牛頓第二定律得到的關系式，

例1“北斗”衛星定位系統由地球靜止軌道衛星（同步衛星）、中軌道衛星和傾斜繞行衛星組成。地球靜止軌道衛星和中軌道衛星都在圓軌道上運行，它們距地面的高度分別約為地球半徑的6倍和3.4倍，下列說法中正確的是

（

）

A.中軌道衛星的加速度大小約為靜止軌道衛星的2.5倍

B.靜止軌道衛星的線速度大小約為中軌道衛星的2.5倍

C.中軌道上的衛星所受的萬有引力比靜止軌道上的衛星大

D.靜止軌道衛星的運行速度大于7.9 km/s

2.同步衛星與地球赤道上物體的速度、加速度大小比較

同步衛星與地球赤道上的物體相同的物理量是角速度（包括周期、轉速、頻率等），不同的主要是半徑以及受力，由此帶來兩者的速度與加速度也不一樣.比較速度、加速度的方法是：因兩者角速度相等，根據v=ωr可知，同步衛星的速度大于地球赤道上物體的速度.同樣比較兩者的向心加速度大小也是

例2 將月球、地球同步衛星及靜止在赤道上的物體三者進行比較，下列說法正確的是

（

）

A.三者都只受萬有引力的作用，萬有引力提供向心力

B.月球繞地運行的向心加速度小于地球同步衛星的向心加速度

C.地球同步衛星與靜止在赤道上物體的角速度相同

D.地球同步衛星相對地心的線速度與靜止在赤道上物體相對地心的線速度大小相等。

解析 月球、地球同步衛星繞地球做圓周運動，只受萬有引力的作用，萬有引力提供向心力.靜止在赤道上的物體隨地球自轉做圓周運動需要的向心力由萬有引力和地面支持力共同提供，故A錯誤；根據萬有引力提供衛星向心力，列出等式，由于月球繞地運行的軌道半徑大于地球同步衛星的軌道半徑，所以月球繞地運行的向心加速度小于地球同步衛星的向心加速度，故B正確；同步衛星的周期與地球白轉周期相同，所以地球同步衛星與靜止在赤道上物體的角速度相同，故C正確.地球同步衛星與靜止在赤道上物體具有相同的角速度，由于同步衛星軌道半徑大于赤道上物體的運動半徑，根據v=ωr，得地球同步衛星相對地心的線速度大于靜止在赤道上物體相對地心的線速度，故D錯誤。正確答案選擇BC。

3.衛星變軌時的速度、加速度大小比較

例3 北京時間6月13日13時18分，“神舟十號”飛船與“天宮一號”實施自動交會對接.交會對接前“神舟十號”飛船先在較低的圓軌道1上運動，在適當位置經變軌與在圓軌道2上運動的“天宮一號”對接.如圖2所示，M、Q兩點在軌道1上，P點在軌道2上，三點連線過地球球心，把飛船的加速過程簡化為只做一次短時加速，則

（

）

A.“神舟十號”須在Q點加速，才能在P點與“天宮一號”相遇

B.“神舟十號”在M點經一次加速，即可變軌到軌道2

C.“神舟十號”在M點變軌后的速度大于變軌前的速度

D.“神舟十號”變軌后運行周期總大于變軌前的運行周期

解析

“神舟十號”如果從Q點加速，應該在P點沿逆時針方向到垂直于MP的2軌道正上方之間與“天宮一號”相遇，故A錯；“神舟十號”在M點經一次加速，將從圓軌道變為橢圓軌道（也叫過渡軌道），該橢圓軌道在P點與圓軌道2相切，到達P點時需再次加速，才能從橢圓軌道變為圓軌道2，故經一次加速不可能變軌到軌道2，B錯；從網軌道1變成橢圓軌道，應在M點加速，C答案正確；由開普勒第三定律（周期定律）可知，D答案正確。正確答案選擇CD。