問題情景:學生主動建構的載體
——對一道課本例題探究引發的思考

●陳 霞 (橫河中學 浙江慈溪 315318) ●黃紅邊 (浦江縣第三中學 浙江浦江 322200)

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問題情景:學生主動建構的載體
——對一道課本例題探究引發的思考

●陳 霞 (橫河中學 浙江慈溪 315318) ●黃紅邊 (浦江縣第三中學 浙江浦江 322200)

美國當代著名建構主義學家格拉塞斯菲爾德認為：知識不是被動吸收的，而是由認知主體主動建構的．隨著新課改的深入，這個觀點讓越來越多的教師深刻體會到：創設生動具體的情景是“引導學生運用已有的學習經驗思考、探究和互動(包括教師和學習伙伴)，促使學生主動建構”的載體，更能使課堂教學效果水到渠成.本文從一道課本例題的教學實踐思考出發，借以拋磚引玉．

1 問題的產生

在人教A版必修2“圓的一般方程”這一節中有這樣一個例題：

例1 已知線段AB的端點B的坐標是(4,3)，端點A在圓C：(x+1)2+y2=4上運動，求線段AB的中點M的軌跡方程．

在學習此內容時，限于學生所學知識，還不能具體探究．但這是一個值得深入探究的問題，為此，在學生學完了圓錐曲線后，筆者把這個例題重新拋出來，讓學生回顧和思考．

探究1 改變端點B的位置，中點M的軌跡會變嗎？

讓學生自主解決，教師有針對性地選幾個學生(端點B在圓外、圓上、圓內)發表意見后得出結論．

探究2 過點M作AB的垂線，交直線CA于點N，當點A在圓C上運動時，求點N的軌跡方程．

探究3 改變端點B的位置，點N的軌跡會變嗎？

此問作為課后學生自由發揮的作業．

學生上課都聽得很認真，筆者講練結合，強調注意點、細節等學生易疏忽之處，以為經過這樣的探究，應該是點面俱到、滴水不漏了．事實上，從作業情況來看，這個問題解答的正確率并不高.學生對課后作業各抒己見，都認為自己是正確的．有學生向教師請教:

生1：這個題目我們2個人得出的結論不同:一個是雙曲線，一個是橢圓，但我認為自己做的沒問題.

師：你們的結果為什么不同呢？是什么原因產生的？

生2：我的點B選在了圓內,他的點B選在了圓外,還有同學的點B選在了點C處．

師：這就說明，端點B的位置變了，點N的軌跡要變．

生3：那還有沒有別的情況，怎樣才能不丟情況呢？

生4：若點B的坐標為(a,b),則怎么知道何時需要討論、何時不需要討論呢？

2 問題的思考

學生的探討讓問題進一步深入了.筆者對課堂例題探究的教學進行了反思,理清知識的本原，把握教材中最主要、最本質的東西．

從本堂課作業題結論的不確定性可以看出，傳統的講練結合的教學方法，無法讓學生明確點的運動變化情況，同時給理解結論產生的原因帶來困難.即使是在教師引導下的探究和思考，學生也只能記住教師所講的結論，知其然而不知其所以然．要突破這個難點，可以考慮使用計算機應用軟件——幾何畫板，它能夠準確、動態地表達幾何現象，直觀地認識動點變化，并在問題解決過程中獲得真正的數學體驗，把抽象的數學結論化為具體．通過好的情景設置，啟發學生觀察、概括并應用，促使學生實現對知識的重新建構，加深對“動點”的深層理解，積累數學體驗，拓寬數學能力．

從實際課堂效果看，筆者忽略了：教師創設“探究性情景”，更重要的是“從學生發展的內在需要出發，從數學內容的發生發展過程的角度出發”.因此，本節課的引入情景首先應該有鮮明的目標指向，即求軌跡一般性方法的導出；其次，能融數學教與學為一體，具有數學教學活動的內驅力，即滲透“將未知轉化為已知”、“分類討論”的數學思想，體現“數學思想是數學教學的靈魂”.從這出發，設計探索性的情景，在教師引導下，分階段、有步驟地進行滲透，最終促使學生“自主、內化、發展”，將數學知識與數學思想方法有機地結合，最終使數學課堂具有自我生長性的立體環境.那么，情景創設就不僅僅起到“敲門磚”的作用，還會在進一步學習中發揮一定的導向作用，成為一個完美的載體.

3 問題的解決

基于以上的思考以及學生的實際，筆者借助幾何畫板重新探究這個例題．

探究1 改變端點B的位置，端點B分別在圓外、圓上、圓內，中點M的軌跡會變嗎？

用幾何畫板演示后，學生一目了然(論證的工作已在之前的課堂上解決了)．

探究2 過點M作AB的垂線，交直線CA于點N，當點A在圓C上運動時，求點N的軌跡方程．

探究3 改變端點B的位置，點N的軌跡會變嗎？

筆者慢慢地用幾何畫板演示(學生目不轉睛地盯著屏幕)，點N的軌跡變化一一呈現，學生也極度興奮，脫口而出：雙曲線、點、橢圓、圓．

師：能總結出點N的軌跡嗎？

生5：當點B在圓外時軌跡是雙曲線；當點B在圓上時軌跡是點C；當點B在圓內不與點C重合時軌跡是橢圓；當點B與點C重合時軌跡是圓．

師：但必須證明！其實有些情況同學們在作業中已經證明了，只要把各種情況分類整理即可．

師：通過此次探究，我們學會了思考、學會了比較，也敢于提出問題了，這很值得肯定，但提出問題、解決問題的勇氣還有待加強．可不可以作進一步地探究呢？

探究4 在直線MN上取一點P,求點P的軌跡．

探究5 在直線AB上取一點Q，過點Q作AB的垂線QR，與直線CA交于點R，求點R的軌跡．

學生們的反響也較強烈．

生6：借用幾何畫板的直觀演示，我們知道了討論的必要性，也懂得了如何討論．

生7：一個例題可以有這么多的探究，我感到書本中的例題很有用．我們要重視書本例題．

生8：這種自主探究、自己去尋找結論的上課方式，我很喜歡．

4 問題的深入

從學生的前后反響中，筆者也深深地體會到:教學必須分析教材、學生等教學要素，特別是學生課堂上的一知半解和課后所反映出的問題，要多方位尋找原因，并及時解決；要成功上好一節課，更要讓學生在教師創設的問題情景中，學會觀察、探索、分析和概括，而不是教師向學生灌輸知識，將知識單向地傳授給學生，問題情景創設的最終目的是促使學生主動建構．本課的設計是穿線型問題，把一節課涉及到的知識點(不管是本節的知識點，還是以前所學的知識點)，以問題的形式串成一條問題鏈，然后把問題鏈構建成符合學生認知規律和思維活動規律的一組問題情景，用一個個問題幫助學生回顧舊知識的同時，逐步導出“新”的學習內容.

因此，可以通過對課例的分析來構建問題情景設計的方法和策略，具體做法有：

4.1 認知沖突型問題情景

創設認知沖突型問題情景，利用知識的新舊之間、整體與局部之間、不同特點之間的差異打破學生已有認知結構的平衡狀態,促使學生進行獨立自主的探究，完成新認知結構的構建．而課堂將成為“讓學生學會數學思維、學會探究、學會應用、學會創新”的場所，學生才會在自我建構中真正學會學習，并隨學生的探究意識不斷強化,思維不斷升華，真正達到學生自主學習的目的．

如復數概念的引入教學可以創設如下問題情景:

1)求一元二次方程x2-2x-4=0的實數根;

2)求一元二次方程x2-2x+1=0的實數根;

3)求一元二次方程x2-2x+4=0的實數根．

這3個問題都是求一元二次方程的根，學生自然會想到用求根公式求解,而且也會得出問題3)中的方程無實數根．此時教師可引導學生：能不能讓問題3)中的方程有根，而且有類似于問題1)的求根公式呢？于是讓學生產生認知上的沖突,探求新知識的欲望便油然而生．

4.2 數學史問題情景

就知識本身而言，它是思維的產物、智慧的結晶，知識在內容上包含著深刻的思維和豐富的智慧，而在形式上卻是簡單、呆板、現成的結論和論證.因此，在課堂教學中,教師可以為學生提供一些數學史上的人文故事或其他有趣的知識,用這樣的方式創設有趣的問題情景,能使學生對問題進行積極地探索和深層次地思考,借以反映知識的形成過程以及知識點的本質，也給課堂注入更多的人文情懷．如在講授“等差數列求和公式”時,可以先講一個數學小故事:德國的數學家高斯讀小學時,教師出了一道算術題:1+2+3+…+100=？其他學生都在“小雞啄米”，而高斯思考了一會兒就寫出了答案:5 050．高斯是用什么方法做得這么快的呢?學生聽了一定感到驚奇,會產生一種強烈的探究反應．教師趁此點明本節課題:這是今天要學的等差數列的求和方法——倒序相加法．在輕松、愉快的氛圍中，學生的學習興趣已被調動起來,很自然就引起對該知識的重視,從而調動學生學習的積極性,也能使該節課達到較好的課堂教學效果．

4.3 現實生活型問題情景

4．4 多媒體展示型問題情景

多媒體集圖像、圖形、文字、動畫等各種信息傳輸手段為一體，具有很強的真實感和表現力，為課堂激發學生主動學習的熱情提供了有利的條件.具體表現在以下2個方面：

1)多媒體展示改變了師生間單調的語言交流、黑板交流，使教學互動表現為文字、圖形和聲音的有機結合，促進了師生間的感情交流，打破了傳統教學中以教師為中心的單向交流，對課堂教學的創新氛圍起著推動作用．

2)多媒體展示能為理性知識注入感性元素，能把抽象思維具體化，能讓靜止變為運動，有利于課堂教學的重點突出、難點分解．

比如立體幾何、解析幾何的教學、函數y=Asin(ωx+φ)的圖像教學等都可以用多媒體展示，這樣避免了教師“強塞硬灌”，使學生能在歡快的氛圍中學習，得到較好的課堂效果．