論三角運算中的無理數

●沈 亞 (浙江師范大學數理與信息工程學院2012級教育碩士 浙江金華 321004)

●呂孫忠 (北京師范大學研究生院 北京 100875)

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論三角運算中的無理數

●沈 亞 (浙江師范大學數理與信息工程學院2012級教育碩士 浙江金華 321004)

●呂孫忠 (北京師范大學研究生院 北京 100875)

文獻[1]中針對一道“北約”自主招生的試題，得出了2個關于三角函數中的有理數和無理數命題如下：

命題1和命題2分別討論了余弦和正切的情況，那么正弦角的情況又是怎么樣的呢？

文獻[1]中用了反證法，根據tan15°為無理數，證明了tan3°為無理數，那么tanθ和tannθ之間有什么聯系呢？

推論1 若tanθ為有理數，則tannθ為有理數，其中n∈Z.

推論2 若tannθ為無理數，則tanθ必為無理數，其中n∈Z.

分析 用反證法證明.若tanθ為有理數，則根據推論1，可得tannθ為有理數，矛盾，故tanθ必為無理數.

分析 類似于推論1的證明，可用數學歸納法得到該結論.

推論4 若cosθ為有理數，則cosnθ為有理數，其中n∈Z.

分析 根據切比雪夫多項式展開

2cosnθ=(2cosθ)n+a1(2cosθ)n-1+…+

an-1(2cosθ)+an，

其中a1,…,an-1,an為正整數，可知，若cosθ為有理數，則cosnθ一定為有理數.

推論5 若cosnθ為無理數，則cosθ為無理數，其中n∈Z.

分析 用反證法證明.若cosθ為有理數，則根據推論3，可得cosnθ為有理數，矛盾，故cosθ必為無理數.

眾所周知，kπ～k×360°，它在弧度制中是無理數，而在度的單位中卻是一個整數.如果將單位轉為度，那么在正弦、余弦和正切中，對任意θ∈(0°,90°)且θ∈Q，只有sin30°，cos60°和tan45°為有理數，在以度為單位的三角形中可得:

推論7 如果一個三角形的3條邊都是有理數，且存在一個內角的度數為有理數，則該內角的大小只能是60°，90°，120°.

下面通過具體的例子來說明這些結論在解題中的應用.

例1 證明：tan3°是無理數．

(2014年“北約”自主招生試題)

分析 對于問題1)，文獻[3]中的證明技巧性非常強，過程比較復雜，現給出比較簡單的解法.

例4 如果一個三角形的3條邊和3個內角的度數均為有理數，則該三角形一定是等邊三角形.

分析 根據推論7，可知該三角形3個內角為60°，90°，120°之一，不妨設為A，B，C，則A+B+C≥60°+60°+60°，且A+B+C=180°，故A，B，C均為60°，即該三角形為等邊三角形.

[1] 黃麗生.一道“北約”自主招生試題的探究與推廣[J].中學教研(數學),2014(6)：28.

[2] 閔嗣鶴，嚴士健.初等數論[M].3版.北京：高等教育出版社，2005.

[3] 劉培杰.有理數與無理數的判定[J].中等數學,2015(3)：8-12.