巧用函數之力 追溯不等式之本質
——例談函數構造的幾個策略

●廖愛國 (云和中學 浙江云和 323600)

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巧用函數之力 追溯不等式之本質
——例談函數構造的幾個策略

●廖愛國 (云和中學 浙江云和 323600)

函數可以說是整個高中數學知識體系的一個靈魂，它就像一根紅線貫穿整個高中數學.函數與方程、不等式問題緊密聯系，可以相互轉化.函數與方程思想是新課標要求的一種重要數學思想方法，而函數構造是運用數學的基本思想方法，通過理解題意，深入分析問題的本質，構造出恰當的數學模型，利用函數的性質解決問題.函數構造的形成過程充分體現了對學生數學創造性思維能力的培養.縱觀近幾年各地數學高考試題,在函數壓軸題中對構造新函數方法有較多考查.對此類問題，如何根據題目特點構造出恰當的函數來解決問題是解題難點，筆者結合高考試題和平時教學體會，探尋函數構造策略，以期拋磚引玉.

1 直接構造法

構造函數最常用的方法就是作差法構造函數與變量分離法構造函數，它能解決函數中很多與方程、不等式等相關問題，是函數構造中最重要的思路.

例1 設函數f(x)=x2+ax+b,g(x)=ex(cx+d).設曲線y=f(x)和曲線y=g(x)都過點P(0,2)，且在點P處有相同的切線y=4x+2.

1)求a,b,c,d的值；

2)若x≥-2時，f(x)≤kg(x)，求k的取值范圍.

(2013年全國新課標卷數學高考理科試題)

分析 第1)小題略.第2)小題是函數中最常見的含參數恒成立問題，也是近幾年數學高考和模擬卷中的常見題型，求解策略是變量分離法和作差法構造函數.

解法1 變量分離法構造函數.

由題意知，x2+4x+2≤2k·ex(x+1)對任意x≥-2恒成立，可分為3類：

則

因此，當x∈(-1,0)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增；當x∈(0,+∞)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減,于是

2k≥h(x)max=h(0)=2,

得

k≥1.

②當x=-1時，左邊=-1≤0=右邊，f(x)≤kg(x)恒成立；

2k≤h(x)min=h(-2)=2e2，

得

k≤e2，

綜上可知：1≤k≤e2.

解法2 作差法構造函數.

構造函數

h(x)=kg(x)-f(x)=2kex(x+1)-x2-4x-2，

由h(0)≥0和h(-2)≥0得1≤k≤e2.又h′(x)=2(x+2)(kex-1)，令h′(x)=0，得x1=-2,x2=-lnk.

①當k∈[1,e2)時，lnk∈[0,2).當x∈[-2,-lnk)時,h′(x)<0,h(x)單調遞減；當x∈(-lnk,+∞)時,h′(x)>0,h(x)單調遞增，從而

kg(x)-f(x)≥h(x)min=h(-lnk)=

-lnk(lnk-2)≥0

恒成立，因此當k∈[1,e2)時，滿足題意.

②當k=e2時，x∈(-2,+∞),h′(x)>0,h(x)單調遞增，從而

kg(x)-f(x)≥h(x)min=h(-2)=0，

因此當k=e2時，滿足題意.

綜上可知：1≤k≤e2.

評析 解法1變量分離法構造函數的目的在于把含參變量的問題轉化為無參變量的函數最值問題，從而避開對參變量的分類討論，這是此類問題優先考慮的重要方法；解法2作差法構造函數思想方法常規，但若能像本題一樣，先用特例縮小參變量k的取值范圍，再分類討論，則必能事半功倍，決勝考場.對這種思維的考查是近幾年高考的熱點之一.

2 轉化構造法

在解決數學問題中常遇到直接構造求解困難的情況，此時就要注意觀察式子的特點，巧妙等價轉化后，再恰當構造函數，才能找到突破口.

2.1 減元與主元構造法

一杭走到核桃臉所住的病房，輕輕敲了一下門。無人應聲。再敲，仍沒有動靜。他推門進去。核桃臉安靜地躺在床上，一臉青紫，手腳微涼，已經沒有鼻息。

當遇到多元參數變量問題時，需要選定參變量主次，或適當轉化進行減元.

1)試求a的值；

2)記函數F(x)=b·f1(x)-lnf3(x),其中x∈(0,e]，若F(x)的最小值為6，求實數b的值；

分析 本題是一道信息題，充分理解題意是求解的前提.第1)和第2)小題略，第3)小題是多元函數問題，選擇不同的角度，就有不同解法，但解題的本質都是選擇主元，適當變形，構造函數.

ex0(x2-x1)-(ex2-ex1)=0,

構造函數h(x)=ex(x2-x1)-(ex2-ex1)，則

h′(x)=ex(x2-x1)>0,

知h(x)在R上單調遞增，于是

h(x1)=ex1[(x2-x1)+1-ex2-x1].

令t=x2-x1>0,記m(t)=t+1-et，m(t)在(0,+∞)上單調遞減,m(t)

h(x1)<0.

同理可得h(x2)>0，又h(x)在R上連續且單調遞增，從而

x1

h(t)=et-1-t(其中t>0),

則

h′(t)=et-1>0,

從而

h(t)>h(0)=0，

即

于是

得

x0>x1，

同理可得

x2>x0,

即

x1

ex0x2-ex2=ex0x1-ex1.

構造函數h(x)=ex0x-ex,則

h′(x)=ex0-ex,

知h(x)在(-∞,x0)上單調遞增，在(x0,+∞)上單調遞減.又因為h(x1)=h(x2)，x1

x1

評析 本題第3)小題的多元變量結構整齊，適當轉化，整體代換，可達到減元目的，是解題的關鍵.選定主元進行分析，才能從多變量中解脫出來，抓住重點，解決問題.

2 式子變形

例3 已知函數f(x)=xlnx,g(x)=x2-6x+2.

2)求函數f(x)在區間[t,t+2](其中t>0)上的最小值.

評析 本例變形看似簡單，但“變”的巧，這說明解題時，要細心觀察、大膽嘗試、多想一點就會有所收獲.

1)求f(x)的單調區間；

(2008年安徽省數學高考理科試題)

3 放縮法

分析 仔細觀察式子特點,構造函數

f(x)=ln(x-1)-(x-1)+1.

由于lnx≤x-1，得

ln(x-1)≤x-2，

取x=n2+1，則

2lnn≤n2-1，

即

評析 熟記一些常用不等關系可以方便解題，如：lnx≤x-1,x+1≤ex等.

綜上可知，構造函數在解決數學函數問題中有著重要作用，其中蘊含著猜想、探究等重要思想方法，在數學教學中教師要有意識地培養學生觀察分析問題的能力，既要強調通性通法的落實，也要大膽創新，不墨守成規.以上只是筆者的初淺認識，不足之處，望加以指正.

[1] 蔣孝國.構造函數在解高考題中的運用[J].中學數學研究,2014(3):25-26.

[2] 翟美鎖.淺談高考中的構造函數法[J].中學教研(數學),2013(9):42-43.

[3] 劉再平.例談輔助函數的構造方法[J].中等數學,2013(5):16-18.