且探且反思
——含參絕對值二次函數解法的教學思考

●江 楊 (江口中學 浙江奉化 315504)

?

且探且反思
——含參絕對值二次函數解法的教學思考

●江 楊 (江口中學 浙江奉化 315504)

二次函數一直是高中數學的重要內容，通過二次函數可以研究函數的許多性質(單調性、奇偶性、最值等)以及“3個二次”的綜合運用等問題.其中含參數絕對值的二次函數，由于涉及數學思想方法多、綜合性強、分析能力要求高等特點，在高考中也常有體現.隨著浙江省數學高考“導數退位，函數扶正”，含參絕對值二次函數的題型很可能涉及.下面筆者結合一堂教學課，也談解法，更貴反思，望同行批評指正.

1 題目呈現

例1 已知函數f(x)=x2-2x|x-a|,a∈R在區間[0,2]上的最小值為-1，則a=______.

例2 設集合A={x|x2-|x+a|+2a<0,a∈R},B={x|x<2}，若A≠φ且A?B,則實數a的取值范圍是______.

(2014年浙江省杭州市第2次高考質量檢測試題)

2 學生思維尋跡

例1是一道期中考試的填空題，從學生考后的情況來看，大部分是“逃”和“猜”2種對策，少部分有思路但也答而不全，答對的更寥寥無幾.因此，聯系到2015年的數學高考實際，筆者就含參絕對值二次函數這一內容設計了一堂專題課.課堂上，筆者先讓學生“還原”了他們的思維過程：

師：這個函數在區間[0,2]上的單調性確定嗎？不確定怎么能直接代入呢？

當a≤0時，f(x)在x∈(0,2)上為單調遞減函數，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1,

當a≤0時，f(x)在x∈(0,2)上為單調遞減函數，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

3)當a≤2時，

或

f(x)min=f(2)=-1，

本題筆者僅就解法探討在此提供另外一種方法——導數法.

當a≤0時，f(x)在R上為單調遞減函數，從而

f(x)min=f(2)=-(2-a)2+a2=-1，

若問題僅僅止步于此，那還只是淺嘗輒止，未及該類問題全部.筆者認為合格的數學教師應該有由點及面的推廣總結能力、撥云見日的剖析歸類能力，例2便是例1的推廣歸納(教師引導，學生自主完成).

圖1 圖2

1.3 統計學方法 采用SPSS 19.0統計學軟件對數據進行分析。計量資料用均數±標準差表示，組間比較采用t檢驗。在分析過程中，多組間的數據比較處理采用One-way ANOVA方法進行分析。以P<0.05為差異有統計學意義。

3 推廣歸納類型，總結提煉方法

例1可推廣歸納為“f(x)=bx|x+a|+g(x)(其中g(x)至多為二次函數，a,b之一為參數)”型.

此類函數的絕對值涉及二次項，若b為參數，a為常數，轉為分段函數后圖像開口確定需結合b的值進行討論；若a為參數，b為常數，則先由分界點-a去掉絕對值，當g(x)為一次函數時，f(x)的圖像由開口向上和向下的2段拋物線拼接成，分類討論a，再結合區間分析，當g(x)為二次函數時，圖像不同，方法相同.

例2可推廣歸納為“f(x)=b|x+a|+g(x)(其中g(x)為二次函數，參數為a,b中之一)”型.

此類函數的絕對值涉及一次項，無論參數為a或b，開口確定，轉為分段函數后，若b為參數，對稱軸需結合b的值進行討論，若a為參數，對稱軸確定，圖像需按分界點-a討論.

以上涵蓋了含參絕對值二次函數的一般類型.筆者再列舉幾道高考試題作為鞏固.

1.設a為實數，函數f(x)=x2+|x-a|+1,x∈R.

1)討論f(x)的奇偶性；

2)求f(x)的最小值.

(2002年全國數學高考理科試題)

2.設a為實數，函數f(x)=2x2+(x-a)|x-a|.若f(x)≥1,

1)求a的取值范圍；

2)求f(x)的最小值；

3)設函數h(x)=f(x)，其中x∈(a,+∞)，直接寫出不等式h(x)≥1的解集(不需給出演算步驟).

(2009年江蘇省數學高考試題)

4 學生思維停滯溯源

高中學生懼怕甚至不會分類討論，筆者認為有以下幾個方面的原因：

1)對用分類討論思想解決問題的步驟性、有效性缺乏成功的體驗.

2)對分類討論的常見類型(①由數學概念引起的；②由性質、定理、公式的限制引起；③由數學運算和字母參數的變化引起；④由圖形的不確定性；⑤由實際意義引起)還缺乏足夠地認識和學習.

3)對分類討論對象的分類標準還缺乏更多實際的經驗.

回到本題，結合學生的反饋和筆者個人的理解，造成思維停滯的主要原因是忽略了參數對圖像的“決定性”牽制，對參數的分類討論是解決這類含參問題的著力點和必經點，對學生來說也是最難點.而生3有分類討論的思想，但在對稱軸和分段端點都變化的情況下，找不準參數的討論臨界點及對討論的問題缺乏嚴謹性思考是問題關鍵所在.

5 教學思考

針對以上問題，筆者認為在平常的教學中要著重做好以下幾個方面：

1)數學教學要“下得廚房，上得廳堂”.

數學教學中，有基本知識與基本技能的訓練，更需有策略與思想引領的培養，數學思想則是數學中最頂層的東西.教師在平常的教學中不要僅會“下”些習題“小菜”，也要經常從中“上”升到思想方法的“廳堂”上來，只有提升學生的思維品質，才能達到居高俯瞰.

2)數學教學要“由點及面”.

通過解答一個典型問題的“點”進而推廣擴散到“面”，借“題”發揮，由此及彼，引導學生，達到對一類題型及相關知識體系內涵關聯的有效掌握，提升學生解題的全面性和思維的整體性.

3)數學教學要使學生“撥云見日”的能力不斷提升.

“授人以魚，不如授人以漁”.反復不斷地試探學生是否掌握核心知識的方法和技能，教學應始終圍繞提升“撥云”的剖析歸類能力，讓學生真正能獨立思考和解決問題.

6 結束語

2015年的新高考，函數將更加歸全反真，而二次函數作為函數家族的“當家花旦”，最有可能推到前臺唱出高考好聲音.因此，在二次函數的復習中，除了做好基本的圖像性質、最值問題、“3個二次”的關系研究等基礎問題和基本類型的復習工作外，還需對一些特殊類型的函數模型和特別的解題方法模式加以滲透和研究，只有做好平常的杜隙防微，才能在高考的戰場上任性由我！

[1] 于亦香．對一道函數絕對值問題的探究[J]．中學數學，2012(4)：86.