函數圖象變換

吳春平

【摘要】函數圖像、圖象變換、及函數性質是整個高中數學的重點和難點，我們對函數性質的研究往往是通過研究函數圖像及其變換得到的，利用函數圖像及其變換解題可以起到化繁為簡、化難為易的作用，而且高考考試大綱中明確要求：學生要會運用函數圖像理解和研究函數的性質。因此，考生要掌握繪制函數圖像的一般方法，掌握函數圖像變化的一般規律，能利用函數的圖像研究函數的性質。

【關鍵詞】函數 ?圖像 ?變換

【中圖分類號】G623.5 ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? 【文獻標識碼】A ? ? ?【文章編號】2095-3089（2015）05-0188-03

很多教師在歸納函數圖象變換時，把函數圖象變換中的平移變換歸納為：左加右減，上加下減。這對簡單的平移變換沒有問題，但如遇到下面這個問題：“如何把函數y=f（2x）的圖像平移得到函數y=f（2x+1）的圖像？”，往往學生會回答：“把函數y=f（2x）的圖像向左平移1個單位就得到函數y=f（2x+1）的圖像”，這里平移的方向對了，但平移的單位是不對的，正確的應該是平移個單位。之所以會出現這樣的錯誤，是因為平移變換的規律“左加右減，上加下減”只說明了平移方向，沒有說明平移幾個單位，沒有抓住變換的實質。函數圖象變換的實質就是“替換”，每一步變換只要考慮把原式中的x、y分別替換成什么。具體的規律如下：

一、平移變換

①把原式中的小x替換成x+a（其中a>0），表示函數圖像沿x軸負方向平移 個單位即向左平移a個單位;

②把原式中的x替換成x-a（其中a>0），表示函數圖像沿 x軸正方向平移 個單位即向右平移a個單位;

③把原式中的y替換成y+a（其中a>0），表示函數圖像沿y 軸負方向平移a個單位即向下平移a個單位;

④把原式中的y替換成y-a（其中a>0），表示函數圖像沿y軸正方向平移a個單位即向上平移a個單位;

這里的規律是：替換后的表達式x+a、y+a中是x、y加上正數a表示向負方向平移，替換后的表達式x-a、y-a中是x、y加上負數-a（其中a>0）表示向正方向平移。其要點是：加上正數向負方向平移，加上負數向正方向平移。為了便于記憶，我們可以把平移變換律歸納為四個字“正負相反”。

二、伸縮變換

①把原式中的x替換成ωx，如果ω>1，表示把函數圖像的橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變）;

②把原式中的x替換成ωx，如果0<ω<1，表示把函數圖像的橫坐標伸長為原來的倍（縱坐標不變）;

③把原式中的y替換成ωy，如果ω>1，表示把函數圖像的縱坐標縮小為原來的（橫坐標不變）;

④把原式中的y替換成ωy，如果0<ω<1，表示把函數圖像的縱坐標伸長為原來的倍（橫坐標不變）;

這里的規律是：x替換成ωx、y替換成ωy后，x、y的系數都從1變成了ω，如果ω>1，即系數變大了，表示相應的坐標縮小為原來的;如果0<ω<1，即系數變小了，表示相應的坐標伸長為原來的倍。其要點是：系數變大相應的坐標是縮小，系數變小相應的坐標是伸長。為了便于記憶，我們可以把伸縮變換規律歸納為四個字“大小相反”。

為了便于理解上述規律，下面舉例說明。（為了便于說明，下文中的符號用到的“”，其中→表示替換，如x→x+1就是表示x替換成x+1;其中符號表示推出;其中文字“右移1個單位”表示原圖像向右平移1個單位得到新圖像，其余的符號類似。）

1.從簡單表達式到復雜表達式

問題1：如何由y=f（x）的圖象變換得到y=3f（2x-1）+2的圖像？

思路1：將其變換方法分四步，第一步由y=f（x）變換得到y=f（x-1），第二步由y=f（x-1）變換得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到y=3f（2x-1），第四步由y=3f（2x-1）變換得到y=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=f（x）的圖像向右平移1個單位得到y=f（x-1）的圖像，再把y=f（x-1）的圖像橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變）得到y=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變）得到y=3f（2x-1）的圖像，最后把y=3f（2x-1）的圖像向上平移2個單位得到y=3f（2x-1）+2的圖像。

思路2：將其變換方法分四步，第一步由y=f（x）變換得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）變換得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到，第四步由變換得到y=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可以表述為：先把y=f（x）的圖像橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變）得到y=f（2x）的圖像，再把y=f（2x）的圖像向右平移單位得到y=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像向上平移個單位得到的圖像，最后把的圖像縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變）得到y=3f（2x-1）+2的圖像。

思路3：將其變換方法分五步，第一步由y=f（x）變換得到y=f（2x），第二步由y=f（2x）變換得到y=f（2x-1），第三步由y=f（2x-1）變換得到y=f（2x-1）+2，第四步由y=f（2x-1）+2變換得到y=3f（2x-1）+6，第五步由y=3f（2x-1）+6變換得到y=3f（2x-1）+2，可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可以表述為：先把y=f（x）的圖像橫坐標縮小為原來的（縱坐標不變）得到y=f（2x）的圖像，再把y=f（2x）的圖像向右平移單位得到y=f（2x-1）的圖像，再把y=f（2x-1）的圖像向上平移2個單位得到y=f（2x-1）+2的圖像，再把y=f（2x-1）+2的圖像縱坐標伸長為原來的3倍（橫坐標不變）得到y=3f（2x-1）+6的圖像，最后把y=3f（2x-1）+6的圖像向下平移4個單位得到y=3f（2x-1）+2的圖像。

顯然，思路3的變換方法比較麻煩，思路3的第四步是由y=f（2x-1）+2變換得到y=3f（2x-1）+6，能否由y=f（2x-1）+2直接變換得到y=3f（2x-1）+2呢？如果可行，那就不需要第五步了。答案是否定的。因為每一步的變換都是考慮把原式中的x、y替換成什么，所以要由y=f（2x-1）+2變換得到y=3f（2x-1）+2，必須使f（2x-1）的系數變為3，那就必須把y=f（2x-1）+2中的y用y 替換，這樣替換后的表達式為y=f（2x-1）+2，兩邊同乘3，得到的表達式是y=3f（2x-1）+6，而不是y=3f（2x-1）+2。

以上3種思路比較典型，還有其他的變換思路，這里不一一羅列。

比較以上3種變換思路，思路1較為簡單，因此由簡單表達式到復雜表達式的變換比較簡捷的思路為：橫坐標的變換是“先平移再伸縮”，縱坐標的變換是“先伸縮再平移”。

2.從復雜表達式到簡單表達式

問題2：如何由y=4f（2x+1）-3的圖象變換得到y=f（x）的圖像？

思路1：將其變換方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3變換得到y=4f（2x+1），第二步由y=4f（2x+1）變換得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）變換得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）變換得到y=f（x），可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=4f（2x+1）-3的圖像向上平移3個單位得到y=4f（2x+1）的圖像，再把y=4f（2x+1）的圖像縱坐標縮小為原來的（橫坐標不變）得到y=f（2x+1）的圖像，再把y=f（2x+1）的圖像橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到y=f（x+1）的圖像，最后把y=f（x+1）的圖像向右平移1個單位得到y=f（x）的圖像。

思路2：將其變換方法分四步，第一步由y=4f（2x+1）-3變換得到y=f（2x+1）-，第二步由y=f（2x+1）-變換得到y=f（2x+1），第三步由y=f（2x+1）變換得到y=f（x+1），第四步由y=f（x+1）變換得到y=f（x），可以將變換方法直觀表示如下：

其完整的變換方法可表述為：先把y=4f（2x+1）-3的圖像的縱坐標縮小為原來的（橫坐標不變）得到y=f（2x+1）-的圖像，再把y=f（2x+1）-的圖像向上平移個單位得到y=f（2x+1）的圖像，再把y=f（2x+1）的圖像向右平移個單位得到y=f（2x）的圖像，最后把y=f（2x）的圖像橫坐標伸長為原來的2倍（縱坐標不變）得到y=f（x）的圖像。

問題2還有其他的變換思路，這里不一一羅列。

從復雜表達式到簡單表達式的變換比較簡捷的思路為：縱坐標的變換是“先平移再伸縮”，橫坐標的變換是“先伸縮再平移”。

三、對稱變換

①將y=f（x）中的x替換成-x得到y=f（-x），則y=f（x）的圖像與y=f（-x）的圖像關于y軸對稱;②將y=f（x）中的y替換成-y得到y=-f（x），則y=f（x）的圖像與y=-f（x）的圖像關于x軸對稱;③將y=f（x）中的x替換成-x，同時把y替換成-y得到y=-f（-x），則y=f（x）的圖像與y=-f（-x）的圖象關于y軸對稱;④將y=f（x）中的x替換成y同時將y=f（x）中的y替換成x得到x=f（y），則y=f（x）的圖象與x=f（y）的圖象關于直線y=x對稱。