復雜系統參數不確定度的傳遞特征與理論建模*

唐冰松, 韓曉林, 楊繪峰

(1.大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室 大連，116024)(2.東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室 南京，210096)(3.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

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復雜系統參數不確定度的傳遞特征與理論建模*

唐冰松1, 韓曉林2, 楊繪峰3

(1.大連理工大學工業裝備結構分析國家重點實驗室 大連，116024)(2.東南大學江蘇省工程力學分析重點實驗室 南京，210096)(3.南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

對不確定度進行推廣，發展了多參數廣義不確定度的概念，并對廣義不確定度的基本性質進行分析。對復雜系統參數廣義不確定度的傳遞特征進行研究并對傳遞特征進行分類，研究了單一子系統不確定度的傳遞模式和特征，傳遞矩陣中元素的絕對值對目標參數不確定度的計算結果有著重要影響。分析了各個子系統參數不確定度傳遞過程中的主要和次要作用并建立相應的判別準則。算例表明了該理論模型在研究復雜系統參數不確定度傳遞問題時的有效性和可行性。

復雜系統； 不確定度； 傳遞矩陣； 傳遞模式

引言

近年來，參數不確定度的傳遞問題逐漸成為熱點，然而對該領域的研究目前還處于起步階段。Attivissimo等[1]采用實驗的方法針對系統誤差對全局不確定度的影響展開了研究。Mauris等[2]對不確定度采用模糊方法進行定義，采用此法研究不確定度的傳遞問題具有特別的優勢，得出了不錯的結果。文獻[3-6]探討了不確定度研究存在的問題、影響因素、主要計算方法及穩定性等。Mari[7]對一個動力引擎進行計算，研究了參數不確定度在傳遞過程中的主要特征并對結果進行了驗證。Zhang等[8]對圓參數在極坐標的條件下建立了隨機誤差傳遞模型。王金星等[9]提出一種現行輪廓濾波器的不確定度傳遞規律的計算方法，可以由輸入輪廓的不確定度計算出經過濾波后的輸出不確定度。以上成果大體是基于具體的工程項目對某一特定參數進行不確定度研究，但面對復雜系統中的參數不確定度的計算時，采用以上文獻方法進行計算時并不能很好地解決，因此需要發展針對復雜系統參數不確定度的理論模型。

筆者在研究復雜系統誤差傳遞的基礎上，對不確定度的定義進行拓展。發展了多參數廣義不確定度的概念，對廣義不確定度的性質進行分析和討論，對復雜系統參數不確定度的傳遞特征進行研究。進一步分析了單一子系統不確定度的傳遞模式和特征，給出各個子系統參數不確定度主次作用的計算與判別準則。

1 廣義不確定度的定義及性質

倪育才[10]對單個參數不確定度的定義為

u(xi)=sqrt(∑(xik-xi0)2/(n-1))

(1)

其中：u(xi)為第i個觀測指標的標準不確定度；xik為第i個觀測指標第k次觀測結果；xi0為觀測結果的平均值。

目前，廣泛采用的是單個參數的不確定度，但單個參數的不確定度在評定某些工業產品時不太合適，需要發展多參數不確定度評定某些特定的產品。廣義不確定度概念的提出將不確定度的參數擴充到n維，極大地拓展了不確定度問題的應用領域。設X=(x1,x2,…,xn)，X為含有n個待觀測參數的n向量。令

(2)

其中：G(x1,x2,…,xn)表示含有n個參數的不確定度的區間函數。

若n=1，G(x1)表示參數x1的不確定度的區間長度，屬于一維區間長度；若n=2，G(x1,x2)為參數x1，x2不確定度范圍函數，可表示為二維平面問題。

(3)

(4)

式(3)，(4)不確定度的邊界如圖1所示。圖1中各半徑可以表示為

圖1 多參數廣義不確定度范圍邊界Fig.1 The boundary of generalized uncertainty for multiple parameters

廣義不確定度對描述多參數目標觀測結果的漂移具有重要的意義。筆者提出的多參數廣義不確定度式(3)，(4)是在各參數指標互相獨立的基礎上提出的。由圖1可知，多參數廣義不確定度范圍的邊界是包含了所有參數不確定度的一個封閉圓；但此定義的廣義不確定范圍存在一個盲區，即任何一次的觀測結果都不會落入此盲區內。以雙參數不確定度為例，圖2將雙參數不確定度觀測目標出現的概率劃分為若干區域。灰色區域為觀測目標所涉及兩個參數不可能出現的區域，為雙參數的盲區；星號區域為觀測目標所涉及雙參數高概率出現區域，為高概率區域；空白區域為觀測目標所涉及雙參數低概率出現區域，為低概率區域。將參數擴大到n時，廣義不確定度的邊界包絡線涵蓋了所有參數可能出現的區域，同時含n個參數不確定度的包絡線范圍內包含較大的盲區。圖2中關于高概率和低概率可能出現區域服從若干概率分布在相關的文獻中已有大量成果，文獻將特定的概率分布與不確定度聯系起來，對不確定度范圍的置信區間進行了研究。

圖2 雙參數不確定度觀測目標出現概率區域劃分Fig.2 The different region divisions with different probable occurrences for double parameters

2 復雜系統參數不確定度傳遞特征

復雜系統一直是系統科學研究的重點，系統的組成方式不同，會影響到最終結果；因此在研究復雜系統問題時，需要定義各個系統的組成方式。筆者定義的復雜系統以最簡單的多個子系統并聯為例，研究各子系統的不確定度與上一層級系統的不確定度之間的關系，如圖3所示。

圖3 觀測目標與各子系統不確定度之間的傳遞關系Fig.3 The mechanism of parameter uncertainty propagation in the complex system

圖3中的A1,A2,…,An為各個子系統參數不確定度的傳遞矩陣，為二階矩陣。令u(Y)為上一層級參數的不確定度，u(X1),u(X2),…,u(Xn)為各個子系統觀測目標參數的不確定度。各子系統觀測參數的不確定度與上一層級參數的不確定度的傳遞關系為

(5)

若考慮各個子系統的傳遞矩陣互相耦合的效應，則式(5)改寫為

(6)

式(6)中考慮了在傳遞過程中各個子系統之間耦合效應，耦合項為Aij,i≠j。為了研究的簡便，假設在實際的傳遞過程中各子系統的傳遞函數沒有耦合效應，則(5)式成立。考慮單個子系統觀測參數的傳遞特征

u1(Y)=A1u(X1)

(7)

其中：u1(Y)表示單個子系統觀測目標不確定度傳遞到上一層級參數的不確定度。

由式(4)可知

(8a)

(8b)

則

‖u1(Y)‖=‖A1u(X1)‖≤‖A1‖‖u(X1)‖

(9)

若傳遞矩陣的范數‖A1‖=χ，則式(9)改寫為

(10)

進一步

(11)

對式(11)進行討論：

2) 若χ2>1，則傳遞函數矩陣對傳遞結果的作用是擴大的，上一層級中多參數不確定度的邊界大于單個子系統中多參數不確定度的邊界,擴大因子為χ2。

由式(5)可知，上一層級系統參數的不確定度是各個子系統觀測目標不確定度經傳遞后疊加的結果，則

(12)

式(12)可以進一步改寫為

(13)

由式(13)可知，上一層級系統參數不確定度的邊界大小由各個子系統的傳遞矩陣的范數(縮放因子)和多參數不確定度的邊界范圍共同決定。

3 單一子系統不確定度傳遞模式與特征

目標參數不確定度由各子系統觀測目標參數的不確定度經傳遞矩陣傳遞疊加而成，疊加后參數的不確定度的邊界為式(13)所示。由于單一子系統傳遞機制及對參數最終傳遞結果有著重要的意義，因此單一系統傳遞矩陣元素對傳遞結果的影響至關重要。考察某一子系統傳遞矩陣中的元素特征及其傳遞模式的分類對研究參數不確定度的問題有著重要意義。現研究單一子系統觀測目標不確定度的傳遞過程

(14)

其中：u(x11),u(x12),…，u(x1n)為所有子系統觀測目標不確定度分量；Y=(y1,y2,…,yn)T為上一層級系統參數不確定度向量。

2.3 指導學生制作個人簡歷，分享成功應聘技巧。高校輔導員作為過來人必然有一些制作個人簡歷及應聘的技巧，應毫無保留的與學生分享和探討。如筆者就經常與學生探討在互聯網時代如何巧妙利用網絡平臺為就業服務。以通過電子郵件投遞個人簡歷為例，首先，主題應在盡量簡潔的情況下明確應聘者姓名、聯系方式及應聘職位，便于招聘人員明確應聘者求職意向與其聯系；其次，郵件投遞時間應盡量靠近招聘截止日期，這個做法是為了使招聘人員在大量郵件中盡早接觸到應聘者的郵件，在還未產生審閱疲勞前可了解到應聘者的信息。

(15)

在工業領域應用中，以式(15)為代表的觀測目標參數互不耦合的情況普遍存在。由不確定度的定義可知，參數不確定度是以某一數值為中心，并在該數值兩側以一定概率分布的形式出現。因此不確定度是以該數值為對稱軸的等間距區間。依據不確定度的特點，傳遞矩陣中對角線的元素正負不影響最終傳遞的結果，但和元素的絕對值有直接的關系。若|aii|≥1，u1(y1)的不確定度的區間范圍伸長，伸長倍數為|aii|；若|aii|<1，u1(y1)的不確定度的區間范圍收縮，收縮倍數為|aii|。因此式(15)可以改寫為

(16)

式(16)與式(10)的關系為

(17)

式(17)給出了傳遞矩陣范數、對角元素與單一子系統觀測目標不確定度之間的聯系，表明在后者一定的情況下，傳遞矩陣范數和對角元素存在的對應關系。

單一子系統不確定度傳遞模式與特征主要側重于傳遞矩陣中元素的特征對最終傳遞結果的影響，式(16)和式(17)表明不確定度的傳遞模式和特征與誤差的傳遞模式與特征有著顯著的區別。

4 子系統參數不確定度傳遞主次作用的度量

各個子系統觀測目標不確定度在傳遞到上一層次系統參數不確定度過程中的重要性程度各不相同，為了區分各子系統觀測目標不確定度傳遞過程中的相對“地位”，需要定義一個衡量參數不確定度傳遞主要和次要作用的參數。令

(18)

5 算 例

5.1 多參數廣義不確定度

若存在一個互相獨立的參數組x1,x2,…,xn，x1,x2,…,xn單個參數的不確定度可以表示為一個區間G(xn)∈[-rn,rn]，雙參數的不確定度可以表示為G(xi,xj)∈[-rij,rij]，其中

(19)

以此類推，m參數的不確定度可以表示為G(xi,xj,…，xm)∈[-rim,rim]，其中

rim=

(i≠j≠…≠m)

(20)

多參數不確定范圍邊界如圖4所示。

圖4 單參數和雙參數廣義不確定度的范圍和邊界Fig.4 The boundary of generalized uncertainty for single and double parameters

5.2 復雜系統參數不確定度傳遞與主次作用度量

因不確定度是一個以真值為中心的區間，因此直接利用筆者提出的理論對不確定度進行計算存在一定的困難。為了計算的方便，記參數xn的不確定度G(xn)=[-rn,rn]=Rn，這里Rn特指不確定度半徑rn的大小。若下一層級子系統的傳遞矩陣為

(21)

由A1，A2，A3矩陣可以求得矩陣范數‖A1‖2=2.288>1(擴大)；‖A2‖2=0.441<1(收縮)；‖A3‖2=5.734>1(擴大)。

因為不確定度是一個對稱區間，根據式(16)可知，3個子系統的傳遞矩陣可以改寫為

由式(10)計算可得

(22)

第1個子系統雙參數廣義不確定度傳遞結果邊界上界所圍成的面積范數為

(23a)

(23b)

第2個子系統雙參數廣義不確定度傳遞結果邊界上界的面積范數為

(24a)

(24b)

第3個子系統雙參數廣義不確定度傳遞結果邊界上界的面積范數為

(25)

由式(12)，(22)～(24)可得

(26)

由式(13)可得

sup(‖u(Y)‖)=1 477.777

(27)

即雙參數觀測目標的不確定度可以表示為G(y1)=[-16.5,16.5]，G(y2)=[-12.3,12.3]，雙參數不確定度上界邊界的面積范數為1 477.777。

另外，由式(18) ，(22)，(23b)，(24b)可得到各個子系統的傳遞主次作用排序為3>1>2。

6 結束語

誤差描述的是觀測目標與真值之間的偏差，不確定度描述的是觀測目標以一定概率在真值兩側偏移程度，兩者是以兩個不同的概念描述同一個事實。誤差問題在理論上已有大量的成果，包括誤差度量、分離和控制等[11]，但在實際應用上，誤差問題還是沒有徹底地解決。不確定度概念的引入為解決這類問題提供了一個更好的手段，不確定度不用區分系統誤差和隨機誤差，以概率的形式給出觀測目標出現的區間，在控制觀測目標偏離真值的手段上更加靈活。因此在工業上逐漸摒棄了采用誤差描述產品的精度的慣有手段，改用不確定度的方法描述產品的精度問題。

筆者根據復雜系統的特點提出了廣義不確定度的概念，將不確定度的概念拓展到參數為n的情況，并對廣義不確定度的主要性質進行了探討。發展廣義不確定度將進一步擴大不確定度概念的應用領域，使之成為描述產品精度問題除誤差外又一個強又力的手段。在一些文獻中已對不確定度有了大量的研究，得到了不少有意義的成果，但復雜系統參數的不確定度問題，特別是傳遞問題成果較少，應當引起重視。筆者對復雜系統參數不確定度(廣義)的傳遞特征、單一子系統的傳遞模式與特征、子系統不確定度(廣義)傳遞主次作用的度量等進行了深入地分析和探討。所研究主題除了對系統整體(宏觀)的傳遞機制進行詳細分析外，對單一子系統(微觀)的傳遞特征也進行了探討，并對不確定度的外延進行了擴展，得到了一些有意義的結論，為推進研究復雜系統不確定度問題進一步發展做了一些有意的嘗試。

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*國家自然科學基金資助項目(50608016)

2013-02-15；

2013-06-28

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.014

TH701; TB92； O192

唐冰松，男，1982年5月生，博士生、工程師。主要研究方向為動態測試與診斷，橋梁健康監測。曾發表《一種基于結構動態特性的物理參數識別算法及應用》(《工程力學》2009年第26卷第6期)等論文。 E-mail:tangbingsong@sohu.com