基于小波-強(qiáng)跟蹤濾波的陀螺漂移在線預(yù)測*

張 偉， 杜黨波， 胡昌華， 周志杰， 張建勛

(1.第二炮兵工程大學(xué)信息工程系 西安，710025) (2.第二炮兵工程大學(xué)控制工程系 西安，710025)

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基于小波-強(qiáng)跟蹤濾波的陀螺漂移在線預(yù)測*

張 偉1， 杜黨波2， 胡昌華2， 周志杰2， 張建勛2

(1.第二炮兵工程大學(xué)信息工程系 西安，710025) (2.第二炮兵工程大學(xué)控制工程系 西安，710025)

為進(jìn)一步提高陀螺漂移預(yù)測精度，根據(jù)陀螺一次項漂移系數(shù)非平穩(wěn)時間序列的特點(diǎn)，針對其數(shù)據(jù)的突變和趨勢相較強(qiáng)的問題，提出一種基于小波和多重次優(yōu)漸消因子強(qiáng)跟蹤濾波相結(jié)合的非平穩(wěn)時間序列在線預(yù)測方法，并將其應(yīng)用于陀螺一次項漂移系數(shù)預(yù)測。實(shí)驗結(jié)果表明，該方法能有效改善數(shù)據(jù)突變和較強(qiáng)趨勢項所帶來的狀態(tài)估計不準(zhǔn)、進(jìn)而造成預(yù)測不準(zhǔn)的問題，提高了預(yù)測精度。

小波分析； 強(qiáng)跟蹤濾波； 陀螺漂移； 多重次優(yōu)漸消因子

引言

陀螺儀是構(gòu)成慣導(dǎo)系統(tǒng)的核心元件，陀螺漂移是影響陀螺精度的主要因素。如何有效提高陀螺儀的性能、抑制陀螺儀的漂移成為提高慣導(dǎo)系統(tǒng)精度的關(guān)鍵。陀螺漂移主要表現(xiàn)在漂移系數(shù)的變化，其漂移一次項系數(shù)測試數(shù)據(jù)屬于趨勢項較強(qiáng)的非平穩(wěn)時間序列，能夠反映陀螺漂移的程度。因此，通過預(yù)測陀螺漂移一次項系數(shù)來預(yù)測陀螺儀性能對于陀螺儀使用、維護(hù)和延長使用壽命等具有重要意義。

現(xiàn)有方法處理非平穩(wěn)時間序列預(yù)測問題一般分為兩類：基于人工智能的方法和將非平穩(wěn)時間序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列問題處理的方法。其中，神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)等人工智能的方法[1-2]建模和預(yù)測精度較高，但在線能力相對較弱。文獻(xiàn)[3]將非平穩(wěn)時間按序列轉(zhuǎn)化為平穩(wěn)時間序列的方法對于含有突變等特點(diǎn)的復(fù)雜非平穩(wěn)時間序列預(yù)測能力較弱。文獻(xiàn)[4]將灰色預(yù)測與自回歸滑動平均模型 (autoregressive moving average，簡稱ARMA)結(jié)合起來，針對陀螺退化進(jìn)行了建模預(yù)測，指出采用混合方法比單一方法的預(yù)測精度高。文獻(xiàn)[5]針對陀螺漂移預(yù)測比較了卡爾曼濾波和小波分析分別與ARMA結(jié)合起來預(yù)測的優(yōu)缺點(diǎn)。文獻(xiàn)[6]采用小波和ARMA組合的方法對糧食產(chǎn)量進(jìn)行了預(yù)測，但在線能力較弱。Zheng等[7]提出的小波和卡爾曼濾波相結(jié)合的方法(wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱WKHEFA)是將小波分析的多尺度特性、在時域和頻域均具有多分辨率分析的特點(diǎn)和卡爾曼濾波的實(shí)時性、遞歸性和易實(shí)現(xiàn)等特點(diǎn)結(jié)合起來的預(yù)測方法，對于負(fù)荷等周期性較強(qiáng)的數(shù)據(jù)有較好的預(yù)測能力，但當(dāng)非平穩(wěn)時間序列周期性不明顯，且含有突變和較強(qiáng)趨勢項等特點(diǎn)時會表現(xiàn)出模型建立不準(zhǔn)、預(yù)測精度不高的問題。文獻(xiàn)[8]加入了帶單重次優(yōu)漸消因子的強(qiáng)跟蹤濾波，仿真驗證了其有效性，但其單通道的強(qiáng)跟蹤特性對于陀螺漂移一次項系數(shù)等工程實(shí)例仍有放大誤差的不足，不能達(dá)到預(yù)期的預(yù)測結(jié)果。

筆者針對陀螺儀一次項漂移系數(shù)具有較強(qiáng)趨勢項和突變的特點(diǎn)，結(jié)合強(qiáng)跟蹤濾波對于突變狀態(tài)的強(qiáng)跟蹤特性，在小波和卡爾曼濾波混合預(yù)測方法的基礎(chǔ)上進(jìn)行了改進(jìn)，將小波分解和強(qiáng)跟蹤濾波算法中多重次優(yōu)漸消因子的思想相結(jié)合，提出一種同時具有實(shí)時性、遞歸性、多通道強(qiáng)跟蹤性和多尺度分析特性的在線預(yù)測方法，并對陀螺儀漂移一次項系數(shù)進(jìn)行了預(yù)測。實(shí)驗結(jié)果表明，該方法有效改善了數(shù)據(jù)突變和較強(qiáng)趨勢項突變所帶來的狀態(tài)估計不準(zhǔn)，進(jìn)而造成預(yù)測不準(zhǔn)的問題，提高了預(yù)測精度。

1 問題描述

對于某一非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)

z(t)=s(t)+v(t)

(1)

其中：s(t)為非隨機(jī)部分；v(t)為隨機(jī)干擾項。

s(t)中經(jīng)常含有趨勢項、季節(jié)項即周期項等，WKHEFA方法對周期性強(qiáng)的非平穩(wěn)時間序列進(jìn)行離散小波變換,使小波系數(shù)構(gòu)成的新序列具有隨機(jī)游走特性。該方法將小波和卡爾曼濾波結(jié)合起來，對具有周期性的負(fù)荷數(shù)據(jù)有較好的預(yù)測結(jié)果，但對于含有突變和趨勢項較強(qiáng)的非平穩(wěn)時間序列數(shù)據(jù)采用該方法并不能很好的進(jìn)行預(yù)測，主要問題：a. WKHEFA方法所建模型不能很好地匹配含有突變或趨勢項較強(qiáng)的非平穩(wěn)時間序列，即模型建立不準(zhǔn)，從而導(dǎo)致卡爾曼濾波出現(xiàn)預(yù)測不準(zhǔn)確或者發(fā)散的情況；b. WKHEFA方法在預(yù)測具有周期性特點(diǎn)的數(shù)據(jù)時，周期是已知或易于得到的，即小波分析所選數(shù)據(jù)段長度是易于得到的，而對于周期性不強(qiáng)的數(shù)據(jù)，小波分析所選的數(shù)據(jù)段長度難以把握。

針對第1個問題，筆者采用帶多重次優(yōu)漸消因子的強(qiáng)跟蹤濾波代替卡爾曼濾波進(jìn)行預(yù)測并在數(shù)據(jù)段內(nèi)進(jìn)行狀態(tài)更新。陀螺漂移系數(shù)等非平穩(wěn)時間序列發(fā)生突變時，其各系統(tǒng)狀態(tài)分量即小波系數(shù)的突變程度是不同的，需采用具有多通道強(qiáng)跟蹤能力的帶多重次優(yōu)漸消因子強(qiáng)跟蹤濾波對系統(tǒng)狀態(tài)進(jìn)行跟蹤。雖然和采用單重次優(yōu)漸消因子相比，在一定程度上提高了算法的復(fù)雜度，但對于抑制采用單重次優(yōu)漸消因子引起的非突變通道的誤差有很好的效果，同時仍然能夠改善模型建立不準(zhǔn)所帶來的狀態(tài)估計值偏離系統(tǒng)狀態(tài)的現(xiàn)象。針對第2個問題，筆者在其他條件不變、所選數(shù)據(jù)段長度不同的情況下進(jìn)行了實(shí)例驗證，得出了陀螺一次項漂移系數(shù)預(yù)測時應(yīng)選取的數(shù)據(jù)段長度。最后對涉及算法的實(shí)時性進(jìn)行了對比分析。

2 帶多重次優(yōu)漸消因子的小波-強(qiáng)跟蹤濾波的非平穩(wěn)時間序列在線預(yù)測

提出的帶多重次優(yōu)漸消因子的小波-強(qiáng)跟蹤濾波的非平穩(wěn)時間序列在線預(yù)測方法的整個算法流程如圖1所示。其中：Hi為小波重構(gòu)矩陣的第i行；l為數(shù)據(jù)段長度；Z(m)為第m個觀測值；m=k·l+i-1。從圖1可以看出，該算法主要包括3步：a.小波分析信號分解，建立系統(tǒng)模型；b.強(qiáng)跟蹤濾波在線更新的一步狀態(tài)預(yù)測；c.利用小波重構(gòu)矩陣對狀態(tài)進(jìn)行重構(gòu)，得到預(yù)測結(jié)果。

圖1 預(yù)測算法流程圖Fig.1 Flow chart of the prediction method

2.1 基于小波分析的信號分解

設(shè){Vj}j∈Z為L2(R)的一個多分辨分析，φ(x)為{Vj}中的尺度函數(shù)。φ(x)為{Vj}中的正交尺度函數(shù)，在最細(xì)尺度M上，z(t)，s(t)，v(t)在選定長度的數(shù)據(jù)段內(nèi)[7]可分別表示為

(2)

對s(t)進(jìn)行離散小波變換,帶入式(2)可得

(3)

對式(3)兩端同時與φM,r(t)做內(nèi)積，有

(4)

式(4)可整理為

z(r)=HrWs+v(r)

(5)

其中:Hr為小波重構(gòu)矩陣的第r行[9]；Ws為小波系數(shù)；r=1,2,…,2M。

把整個所選數(shù)據(jù)段各個時刻的采樣值寫成向量形式，并假設(shè)將小波系數(shù)看作狀態(tài)變量，則將z(k)描述為狀態(tài)方程形式

(6)

其中：A，F(xiàn)為l×l的單位陣；H為l×l的觀測陣即小波重構(gòu)矩陣；k表示數(shù)據(jù)段的序號；X(k)為l維狀態(tài)變量即小波系數(shù)。

W，V分別為l維系統(tǒng)和觀測噪聲，并假設(shè)其滿足以下統(tǒng)計特性

(7)

其中：Q(k)為對稱非負(fù)定陣；R(k)為對稱正定陣。

2.2 強(qiáng)跟蹤濾波算法

強(qiáng)跟蹤濾波(strong tracking filter，簡稱STF)的代表算法是引入次優(yōu)漸消因子進(jìn)行強(qiáng)跟蹤[10-11]，描述的系統(tǒng)中狀態(tài)變量是小波系數(shù)。文獻(xiàn)[8]中強(qiáng)跟蹤濾波采用的是單重次優(yōu)漸消因子對其進(jìn)行強(qiáng)跟蹤，但小波系數(shù)是由一個逼近系數(shù)和其他細(xì)節(jié)系數(shù)構(gòu)成。當(dāng)趨勢項較強(qiáng)的測量數(shù)據(jù)發(fā)生突變時，主要是逼近系數(shù)發(fā)生了突變，所以為了實(shí)現(xiàn)對小波逼近系數(shù)的強(qiáng)跟蹤，弱化其他系數(shù)對預(yù)測造成的影響，不適宜采用帶單重次優(yōu)漸消因子的卡爾曼濾波(suboptimal fading Kalman filter, 簡稱SFKF)，而應(yīng)采用帶多重次優(yōu)漸消因子的卡爾曼濾波(suboptimal multiple fading Kalman filter,簡稱SMFKF)[12]進(jìn)行強(qiáng)跟蹤。

多重次優(yōu)漸消因子主要思想是：采用多個次優(yōu)漸消因子分別對不同的數(shù)據(jù)通道(狀態(tài)分量)進(jìn)行漸消，為了進(jìn)一步提高濾波器的跟蹤能力，通過引入漸消記憶矩陣L(m+1)實(shí)時調(diào)整狀態(tài)預(yù)報誤差的協(xié)方差陣以及增益來實(shí)現(xiàn)。當(dāng)由先驗知識得到狀態(tài)X(m+1)的某分量Xi(m+1)易于突變時，可相應(yīng)增大與其對應(yīng)的次優(yōu)漸消因子的比例系數(shù)，這樣有助于實(shí)現(xiàn)對此分量的快速跟蹤。

P(m+1|m)=L(m+1)AP(m|m)AT+FQFT

(8)

X(m+1)可由下面的方法[12]計算得到

(9)

V0(m+1)=

(10)

N(m+1)=V0(m+1)-

Hi+1(m)FQFTHi+1(m)T-βRi+1(m)

(11)

M(m+1)=Hi+1(m)AP(m|m)ATHi+1(m)T

(12)

(13)

(14)

L(m+1)=

(15)

其中：λi(m+1)=αic(m+1),i=1,2,…,l；β≥1為選定的弱化因子，可以避免過調(diào)節(jié)，β可以由經(jīng)驗得到，也可以仿真得到；0<ρ≤1為遺忘因子，一般取ρ=0.95。

2.3 帶多重次優(yōu)漸消因子的小波-強(qiáng)跟蹤濾波在線預(yù)測算法

帶多重次優(yōu)漸消因子的小波-強(qiáng)跟蹤濾波在線預(yù)測算法(suboptimal multiple fading-wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱SM-WKHEFA)是將強(qiáng)跟蹤濾波和小波分解結(jié)合起來，利用小波分解得出的數(shù)據(jù)多尺度特征，將分解出的小波系數(shù)作為狀態(tài)變量，同時利用強(qiáng)跟蹤濾波進(jìn)行實(shí)時多通道強(qiáng)跟蹤和動態(tài)預(yù)測的一種同時具有遞歸性、實(shí)時性、多通道強(qiáng)跟蹤性和多尺度分析特性的方法。

(16)

(17)

其中：Hi(m)為觀測矩陣即小波重構(gòu)矩陣第i行。

(18)

(19)

(20)

(21)

令m=m+1，重復(fù)以上運(yùn)算即可實(shí)現(xiàn)對每個測量值的一步預(yù)報。

綜合以上思想，總結(jié)整個SM-WKHEFA算法步驟如下。

1) 初始化，計算X(0|0)，給定l，Q,R,P(0|0)，狀態(tài)分量權(quán)值和所選用小波。由小波重構(gòu)矩陣計算X(0|0)=H×Z(0)。給定數(shù)據(jù)段長度l=2n，n為小波分解層數(shù)。

(22)

4) 令m=m+1，返回步驟2，可實(shí)現(xiàn)一步預(yù)測。

這里n的選取根據(jù)不同數(shù)據(jù)的特點(diǎn)取值不同，本研究由實(shí)驗方法得到。

3 實(shí)例驗證

3.1 問題描述

筆者采用某型號單自由度液浮陀螺儀一次項漂移系數(shù)作為實(shí)例驗證，如圖2所示。陀螺漂移一次項系數(shù)測量序列具有較強(qiáng)趨勢項且存在幾個明顯的跳變，且數(shù)據(jù)周期特性并不明顯。針對此問題，首先，采用SM-WKHEFA對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行預(yù)測；然后，討論此算法針對陀螺一次項漂移系數(shù)應(yīng)選取的數(shù)據(jù)段長度；最后，分別將改進(jìn)前后的算法用于陀螺一次項漂移系數(shù)預(yù)測進(jìn)行對比，得出結(jié)論。

圖2 陀螺儀一次項漂移系數(shù)曲線Fig.2 Graph of gyro drift 1-order coefficient

3.2 在線預(yù)測

如圖3所示，采用SM-WKHEFA對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行在線預(yù)測。由于Haar小波結(jié)構(gòu)簡單，便于計算，是小波分析中最早用到的具有緊支撐的正交小波函數(shù)，故這里選取Haar小波為例。選取n=2，Q=1×10-10×Il×l，R=1×10-9×Il×l，l=2n=4，P=1×10-6×Il×l，λ1(m+1)∶…∶λn(m+1)=α1∶…∶αn=100∶1∶…∶1。

圖3 SM-WKHEFA在線預(yù)測結(jié)果Fig.3 Predict results of online SM-WKHFA

為評價預(yù)測結(jié)果，引入評價指標(biāo)。絕對誤差均值為

(23)

其中：L為數(shù)據(jù)總長度。

誤差標(biāo)準(zhǔn)差為

(24)

從圖3(b)中可得到MAE=0.804 4×10-2，SDE=1.039 0×10-2。可見，所提算法能夠較好地對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行預(yù)測，并在原數(shù)據(jù)發(fā)生突變時能較快跟蹤并進(jìn)行預(yù)測。

3.3 數(shù)據(jù)段長度的選取

在SM-WKHEFA中，n表示進(jìn)行小波分解的層數(shù)，l=2n表示所選數(shù)據(jù)段的長度。當(dāng)n較大時，小波分解可以提取更純凈的趨勢項，但也有可能去掉有用信息，同時強(qiáng)跟蹤濾波在進(jìn)行預(yù)測時由于間隔長度過長會導(dǎo)致精度下降。當(dāng)n較小時，強(qiáng)跟蹤濾波進(jìn)行預(yù)測各數(shù)據(jù)段長度比較短，相鄰數(shù)據(jù)段之間變化較小，但此時小波分解并不能很好地分解出較為純凈的趨勢項，也會影響建模精度。可見，n的選取很重要，根據(jù)不同數(shù)據(jù)，n的選取也會不同。針對陀螺儀漂移系數(shù)數(shù)據(jù)，分別選取n為不同值進(jìn)行建模預(yù)測，對比結(jié)果如表1所示?？梢钥闯?，當(dāng)n=1,2時，預(yù)測結(jié)果相差不大；但當(dāng)n>2時，預(yù)測誤差明顯增大。同時，由于小波分解在層數(shù)相對較多的情況下分離趨勢項的作用和抑制高頻干擾均較好，故對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行預(yù)測時取n=2，即每一數(shù)據(jù)段長度為l=2n=4。

表1 SM-WKHEFA選取不同n時預(yù)測誤差比較

3.4 改進(jìn)前后方法比較

為進(jìn)一步檢驗本研究方法的有效性，將改進(jìn)前后的方法用于陀螺一次項漂移系數(shù)，比較其預(yù)測結(jié)果。選取基本W(wǎng)KHEFA方法、WKHEFA方法[7]、帶單重次優(yōu)漸消因子的小波-強(qiáng)跟蹤濾波預(yù)測方法(suboptimal fading-wavelet-Kalman filtering hybrid estimating and forecasting algorithm，簡稱SF-WKHEFA)[8]以及筆者所提的SM-WKHEFA方法分別對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行一步預(yù)測。其中，基本W(wǎng)KHEFA方法是指不進(jìn)行一步更新的方法，后3種方法都是一步更新預(yù)測。針對在線預(yù)測算法對實(shí)時性的要求，對以上方法的計算時間進(jìn)行統(tǒng)計，如表2所示。所有方法的數(shù)據(jù)長度l=2n=4，初始值選取相同，運(yùn)行環(huán)境為windows xp，Intel core (TM) 2 Duo CPU T6570 雙核，2 GB內(nèi)存。

如圖4，5為所得結(jié)果，基本W(wǎng)KHEFA沒有一步更新，其他3種是一步更新后的結(jié)果。可見，WKHEFA預(yù)測結(jié)果明顯好于基本W(wǎng)KHEFA預(yù)測，這是因為加入新信息的更新，使得狀態(tài)較未更新之前有所改善；SF-WKHEFA預(yù)測結(jié)果并沒有WKHEFA預(yù)測結(jié)果好，這是因為強(qiáng)跟蹤在更新狀態(tài)時，單重次優(yōu)漸消因子對除小波逼近系數(shù)以外的細(xì)節(jié)系數(shù)影響也進(jìn)行了放大，而細(xì)節(jié)系數(shù)是高頻部分，多含有噪聲，不能很好地跟蹤結(jié)果，進(jìn)而不能很好地預(yù)測；筆者采取的SM-WKHEFA預(yù)測方法得到的結(jié)果相比于WKHEFA預(yù)測結(jié)果能夠較好地對原數(shù)據(jù)進(jìn)行預(yù)測，且當(dāng)數(shù)據(jù)發(fā)生較大變化即突變時能夠很好地進(jìn)行跟蹤，保證了其后數(shù)據(jù)預(yù)測的精度，這也驗證了筆者采用多重次優(yōu)漸消因子而不采用單重次優(yōu)漸消因子的分析正確。

由表2可知，SM-WKHEFA預(yù)測方法在預(yù)測絕對誤差均值和誤差標(biāo)準(zhǔn)差時能有效提高精度，驗證了本研究方法的有效性。在線能力方面，雖然幾種方法的實(shí)驗用時隨著算法復(fù)雜度的增加而增加，但都不超過0.1 s，且在線能力和預(yù)測精度兩者互相矛盾，在相同數(shù)量級的用時下，可以根據(jù)測試要求選擇更合適的算法。陀螺儀漂移系數(shù)標(biāo)定需要6位置測試才能完成，遠(yuǎn)遠(yuǎn)大于算法計算所需要的時間，因此本研究算法能夠達(dá)到在線能力的要求。

圖4 改進(jìn)前后預(yù)測方法結(jié)果比較Fig.4 Predict results comparison of the improved and original algorithm

圖5 改進(jìn)前后預(yù)測方法誤差比較Fig.5 Predict error comparison of the improved and original algorithm

表2 改進(jìn)前后預(yù)測方法誤差比較

研究模型是建立在小波系數(shù)的隨機(jī)游走性質(zhì)前提下的[7]，狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣A為單位陣，而強(qiáng)跟蹤濾波在多步預(yù)測時只是簡單的用狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行迭代，多步預(yù)測結(jié)果效果較差。因此當(dāng)需要進(jìn)行多步預(yù)測時，可考慮對狀態(tài)轉(zhuǎn)移矩陣進(jìn)行改進(jìn)，使其能夠反映狀態(tài)之間的關(guān)系。

4 結(jié)束語

結(jié)合具有較強(qiáng)趨勢項非平穩(wěn)性時間序列數(shù)據(jù)的特點(diǎn)，將多重次優(yōu)漸消因子強(qiáng)跟蹤濾波引入小波-卡爾曼濾波預(yù)測方法中，提出一種同時具有遞歸性、實(shí)時性、多通道強(qiáng)跟蹤性和多尺度分析特性的小波和強(qiáng)跟蹤濾波在線預(yù)測方法，并針對陀螺儀一次項漂移系數(shù)進(jìn)行分析預(yù)測。實(shí)驗證明，SM-WKHEFA能有效抑制陀螺漂移系數(shù)建模不準(zhǔn)的缺陷，增強(qiáng)了對數(shù)據(jù)突變的跟蹤能力，使得預(yù)測結(jié)果與傳統(tǒng)小波-卡爾曼濾波方法相比, 絕對誤差均值和誤差標(biāo)準(zhǔn)差都更小，提高了預(yù)測精度。但是，SM-WKHEFA只是緩解了模型建立不準(zhǔn)帶來的缺陷，在進(jìn)行多步預(yù)測時預(yù)測精度會降低，所以對所建模型進(jìn)行改進(jìn)，提高建模精度是下一步研究的重點(diǎn)。

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2013-01-24；

2013-03-31

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.013

TP273 ; TN713 ; V241.5; TH17

張偉，女，1966年4月生，博士、副教授。主要研究方向為故障診斷與預(yù)測、智能計算。 E-mail：zhang1966wei@163.com