轉子-軸承系統局部邊界參數識別方法*

譚 禎， 李朝峰 ， 太興宇， 聞邦椿

(1.沈陽廣播電視大學理工學院 沈陽，110003) (2.東北大學機械工程及自動化學院 沈陽，110819)

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轉子-軸承系統局部邊界參數識別方法*

譚 禎1，2， 李朝峰2， 太興宇2， 聞邦椿2

(1.沈陽廣播電視大學理工學院 沈陽，110003) (2.東北大學機械工程及自動化學院 沈陽，110819)

為了提高實際工程中轉子系統某一局部結構的動力特性和計算效率，便于局部振動分析并簡化系統建模，提出了一種局部約束參數識別方法。考慮系統各部件間的耦合效應，對轉子系統的軸和盤片結構進行分解，建立子系統與主系統。通過動力學方程推導，獲得局部求解，識別子系統與主系統的邊界單元約束剛度與阻尼。通過識別的約束剛度阻尼建立子系統，計算其各個節點的響應，并將其與整體模型的對應節點響應結果進行對比驗證，證明了該方法的可行性。該方法為旋轉構件局部結構的建模與振動分析提供了便利。

轉子系統； 參數識別； 動力學模型； 剛度； 阻尼

引言

旋轉機械中的轉子結構中通常由多個轉子和多個零部件配合組成，系統較為復雜且各個部件之間有強烈的耦合效應。為設計和研制機械結構，了解其工作狀況下的特性，不僅要對盤片建模，還需要建立整機有限元模型，分析其振動效應和動力特性[1-5]。對整機及組件的建模，零件和零件之間的聯接是通過限制邊界條件來實現。將整個結構建立模型進行分析計算，會給建模帶來很大困難，也會使整機有限元模型的自由度過于龐大，耗費較多時間和資源，造成研制費昂貴、設計周期長等問題。文獻[6]研究了支承及非支承機匣系統中空心幅板類零部件、孔類零部件和附件等典型結構在整機建模中結構簡化的處理方法。毛文哲等[7]通過有限元方法建立連接剛度的體單元、加厚板單元和多點約束單元等有限元分析模型，對比了不同建模方式對結構動力學特性的影響。曾嫣等[8]對轉子系統的軸系關鍵部件進行簡化，建立轉子的動力學模型。以上研究均是對不同結構建模方式進行簡化，以達到簡化整體模型的目的，忽略了動態連接剛度的影響。筆者通過識別局部位置參數來建立子系統，簡化整體模型，考慮了在不同轉速、不同位置下連接剛度的變化。左曙光等[9]為研究橡膠襯套軸向靜、動態特性，提出一種模型，并通過試驗結果識別動剛度和阻尼系數。文獻[10]對有限元模型的支承位置進行剛度識別，為本研究的參數識別提供了依據。

筆者提出了一種局部約束參數識別的方法，將轉子系統的軸和盤片結構分解成多個子系統，并考慮其各個子系統之間的耦合效應。在子系統中將一組單元用矩陣凝聚為一個單元，對約束部分的局部單元參數進行識別，識別后的參數可對子系統單獨建模分析。同時可將多個子系統建立連接，簡化整個系統的建模過程，減少計算分析時間。

1 轉子系統的有限元模型

筆者以一典型轉子結構模型來實現和驗證局部邊界參數識別方法對簡化系統建模的可行性。轉子系統的相關參數為：轉子軸半徑r=10 mm，長度l=330 mm，轉盤外徑R=50 mm，轉盤厚度H=20 mm。圖1為經過離散后的有限元模型圖，根據結構特征將其分為12個單元、13個節點。支承分別在第2和第12節點處，轉盤質心位于第7節點處。圖中圓點表示節點，每一小段表示一個單元。轉子系統的運動方程可以表示為

(1)

其中：M為整體系統的質量矩陣；C為阻尼矩陣；K為剛度矩陣；Q為位移響應；F為不平衡力。

系統中的材料阻尼以Rayleigh阻尼形式定義為

D=αM+βK

(2)

簡支系統固有頻率(圓頻率)第1階為807 rad/s，第2階為5 312 rad/s，阻尼系數ζ1為0.05，ζ2為0.08。

圖1 柔性轉子系統有限元模型Fig.1 Finite element model of flexibility rotor system

2 轉子模型邊界參數識別的推導

為簡化系統結構并考慮各個系統之間的耦合關系，將系統的動力學方程根據其邊界單元的位置將式(1)分解，建立子系統，獲得局部求解，再組集到整個求解中。分解時將系統的節點位移分成兩組：第1組是同子系統或單元共用，具有位移協調關系，屬于邊界節點位移，用下標1表示；第2組是與子系統或單元沒有位移協調關系，用下標2表示，邊界單元包含子系統單元的結構力和邊界的約束力。將第1組節點剛度阻尼分解出邊界約束剛度項和阻尼項，分別為Kq，Cq，式(1)可分解為

(3)

設式(1)的穩態響應為Q=qcosωt+psinωt，F=Acosωt+Bsinωt。其中：ω表示旋轉角頻率。代入式(3)得

(4)

其中：

(5)

求解參數為Kq，Cq，A2，B2，式(5)中4個方程求解8個未知數，采用最小二乘法求解不同轉速建立的方程。將識別得到的約束剛度和阻尼與結構剛度和材料阻尼進行組集，得到子系統的整體剛度阻尼矩陣。

如需要分析子系統的振動工作特性，可通過該方法識別的整體剛度阻尼矩陣建立子系統有限元模型，簡化建模的復雜程度。

將式(4)進一步演化，得

(6)

HBXqp=XAB

(7)

將上述等式反復賦給不同的子系統，則整個系統的剛度阻尼矩陣為

(8)

一旦計算出邊界節點或子系統節點位移，則所有子系統的位移和應力便可求出。由于邊界剛度阻尼矩陣HB的階數遠小于子系統剛度阻尼矩陣的階數，使得最后組集各個子系統所得到的結構剛度阻尼矩陣的階數大大降低，故該方法可應用于大型轉子結構的振動問題分析。

3 局部模型參數識別

3.1 模型的建立

圖2 子系統模型示意圖Fig.2 Schematic diagram of subsystem model

設圓盤的初始不平衡量為5×10-4g·m，偏心初始相位φ1=φ2=0，相位差為Δφ=0，施加不平衡載荷，設置不同轉速，計算得到各節點在不同轉速下的位移響應，為參數的識別提供條件。

3.2 基于模型振動響應的局部位置參數識別

為獲得算例中邊界節點的約束剛度和阻尼數值，實現局部位置參數的識別，完成系統建模，筆者按照介紹的動力學方程的推導過程，分別建立子系統有限元模型和整體有限元模型，子系統在阻尼計算中采用默認值設置邊界條件，計算子系統1和子系統2的臨界轉速。子系統1的1階臨界轉速為2 325 rad/s，2階臨界轉速為10 696 rad/s，子系統2的1階臨界轉速為1 258 rad/s，2階臨界轉速為7 358 rad/s。為了考慮高階臨界轉速對識別參數的影響，設定該轉子系統的轉速從100 rad/s～12 000 rad/s變化。通過動力響應計算，得到轉子系統邊界節點的位移響應，識別出位移響應系數。將諧響應計算的結果導入識別計算程序中，求得Xqp。使用最小二乘法，通過式(5)求得邊界單元的約束剛度和阻尼。將邊界單元的結構剛度和材料阻尼與識別所得的約束剛度和阻尼進行組集，得到子系統的整體剛度阻尼矩陣，建立子系統模型。通過式(8)組集整體轉子系統模型。

由于篇幅所限，列出部分關鍵轉速下的識別參數，如表1所示。繪制曲線如圖3所示。對結果進行分析發現，識別的參數與子系統的臨界轉速有一定關系，與整體模型的臨界轉速關系不大。圖3中，A點轉速為1 200 rad/s，B點為1 400 rad/s，C點為2 200 rad/s，D點為2 500 rad/s，E點為1 300 rad/s，F點為2 300 rad/s，與子系統的簡支模型的臨界轉速數據對照，突變位置均在子系統的一階臨界轉速附近。這是由于在一階臨界轉速下，彎曲方向上位移響應突然增大。由于筆者采用的模型為對稱模型，二階振型變化不明顯，所以在二階臨界轉速附近，識別參數沒有明顯變化。

不同子系統變化趨勢基本相同。對于不同的子系統模型，子系統截取的軸段長度增加，其二階臨界轉速降低，剛度阻尼值產生突變時對應的轉速也隨之降低。從圖3可以看出：由于圓盤位于軸的中點，所以左右邊界節點識別剛度阻尼基本相同； 在遠離一階臨界轉速下，不同子系統的識別參數數值接近，說明一階臨界轉速對識別參數的結果影響較大。

表1 部分識別的剛度和阻尼

圖3 隨轉速變化識別參數曲線Fig.3 The change curves of identified parameters with rotate speeds

4 結果驗證

圖4 測量點的隨轉速變化的位移幅值曲線Fig.4 The amplitudes curves of measured displacement with rotating speeds

為了比較子系統和整體系統的時域特性，并由于篇幅所限，筆者選擇了一組特殊轉速繪制子系統模型與整體系統模型對應邊界節點的位移響應時域圖，如圖5所示。圖例與圖4中的圖例符號含義相同。當轉速為800 rad/s時，與整體系統的一階臨界轉速806 rad/s接近，其振動幅值較大。隨著轉速的增大，響應曲線的密度增大，振動的頻率增大，該變化趨勢與實際情況相符。在轉速為2 000 rad/s時，在子系統1的一階臨界轉速附近所識別的剛度產生突變，從而位移響應與整體模型對應不上，8 000 rad/s和11 000 rad/s分別與子系統1、子系統2的二階臨界轉速接近。從曲線的吻合程度可以看出，由識別參數建立的局部分析模型所得的位移響應與整體模型位移響應的相位與幅值等基本重合，吻合得非常理想，在其他轉速下結果均理想。

通過計算分析對比可以看出，在不同子系統中，不同轉速下識別剛度和阻尼數值變化趨勢基本一致，其數值與子系統的一階臨界轉速關系密切。在一階臨界轉速下，識別的參數會有明顯變動。在其他轉速下，經計算其響應計算對比，所建立的整體模型與子系統模型結果基本一致，說明識別得到的剛度和阻尼基本可靠，同時也說明通過識別的約束參數建立的子系統能包含整體系統的耦合效應，可單獨作為分析對象，實現對結構的簡化。

圖5 測量點在不同轉速下的x方向位移響應曲線Fig.5 The response curves of measured displacement in x with different rotating speeds

5 結 論

1) 識別的約束參數在子系統彈支模型的一階臨界轉速時出現波動，在其他轉速下變化趨勢基本一致。驗證結果表明，所識別參數可以保證子系統的動力響應與原系統一致。

2) 由于所分析的轉子系統為一對稱結構，因此參數識別結果在二階臨界轉速附近并沒有較大的波動，而在實際工程應用中這種現象可以得到避免。

3) 該方法可以對復雜轉子系統進行局部動力學參數識別，可為旋轉構件局部結構的建模與振動分析提供便利，達到節約計算資源的目的。

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*國家科技支撐計劃資助項目(2009BAG12A01-F01-3);國家自然科學基金青年基金資助項目(51105063)

2013-02-01；

2013-06-26

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.012

TH113

譚禎，女，1981年6月生，博士、副教授。主要研究方向為振動分析與應用、多場耦合分析等。曾發表《不同湍流模型旋轉葉片氣固耦合動力學特性研究》(《振動與沖擊》2013年第32卷第11期)等論文。 E-mail:tanz-hen@126.com