動載荷識別的小波級數分解法階次確定*

楊 帆， 張 方

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

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動載荷識別的小波級數分解法階次確定*

楊 帆， 張 方

(南京航空航天大學機械結構力學及控制國家重點實驗室 南京，210016)

在基于正交小波級數分解法的分布動載荷識別過程中，由于小波級數階次的不適當選擇，造成載荷識別的不準確或計算量龐大。通過矩陣的譜分解，根據Parseval定理，信號在時域中的總能量和頻域中的總能量是相等的，給出了隨著階次的增加而趨于收斂的小波級數系數幅值的包絡線，將沒有確定解析規律的小波級數系數解析化，得到確定的小波級數階次與載荷識別相對誤差的函數關系。根據實際工程需求的識別誤差等級來選取小波級數的階次，給出了待識別動載荷級數分解時選擇階次的理論依據。計算機仿真分別采用單頻、多頻、實際載荷信號，試驗系統采用沖擊載荷加載，驗證了該定階方法的正確性和有效性，結果表明定階理論適用于不同載荷類型。

載荷識別; 級數定階; 小波級數; 正交小波基; 結構動力學

引言

工程結構上的分布動載荷識別方法有很多，其中正交函數擬合法和小波級數分解法將復雜的分布動載荷識別轉化成正交基函數的系數計算，將復雜的積分關系轉化成分解系數與結構測點響應信息的線性關系，識別精度高，抗噪性好[1-7]。正交基函數的階次根據經驗和有限的響應測量點信息來確定[8-9]。當工程實際要求提高精度或因實際條件限制必須減少響應測量點個數時，只能通過采用條件循環來控制擬合的階次，最終達到實際要求[10]，因此大大降低了運算的效率。

與傅里葉變換相比，小波變換是時間和頻率的局部化聚焦。一些小波函數(如正交Marr小波)在具有和傅里葉變換正交基相同的正交小波基函數的基礎上，同時具有緊支撐性和多分辨率分析等優良性質。利用Marr小波函數是高斯函數的二階導數，筆者采用正交Marr小波基函數對待識別載荷進行擬合，通過對隨著階次的增加而趨于收斂的小波級數系數的觀察分析，對頻響函數和小波級數系數矩陣進行譜分解。利用Parseval定理和Cauchy不等式，給出小波級數系數的高斯包絡線的解析形式，使得小波級數系數的幅值范圍在包絡線內。用解析的包絡線替代未知的小波級數系數，根據實際工程對分布動載荷識別誤差的需求，確定應該選取的小波級數的階次。對工程常見的多頻率疊加載荷，以及具有實際價值的無解析規律的載荷進行計算機仿真驗證，給出不同誤差等級所需要的小波級數分解階次，識別出的載荷很好地控制在誤差等級范圍內。對工程中最常見的沖擊載荷進行同樣的試驗驗證以及相應的仿真比較，結果很好地驗證了基于小波級數分解法的動載荷識別理論以及小波級數階次選取理論的正確性和廣泛的適用性。

1 基于小波級數分解的分布動載荷識別理論

規范Marr小波基函數及其傅里葉變換對定義[11]為

(1)

其中：φ(t)的形式為高斯函數的二階導數。

以受連續分布動載荷的Bernoulli-Euler梁模型為例，Bernoulli-Euler梁具有均勻橫截面，材料為勻質，對無限自由度系統，其研究方法與單自由度系統及多自由度系統的研究方法相同。建立動力學運動方程[10]為

(2)

其中：EI為梁的截面剛度；ρA為梁單位長度的質量；w即w(x,t)為梁的橫向變形；c0為梁的外部介質黏性阻尼系數；c1為梁的內阻尼系數；p(x,t)為梁所受的分布載荷。

在x點激勵，k點的響應的頻率響應函數[10]為

(3)

其中：ωj為梁的固有頻率；?為外部激勵頻率；φj(x)為梁振動的固有陣型；ζj為阻尼比。

ζj和外阻尼、內阻尼系數有如下關系

(4)

激勵與響應在頻域中的關系為

X(ω)=H(ω)F(ω)

(5)

連續激勵與任意點k響應的關系為

(6)

根據式(1)，用Marr小波對激勵力進行擬合

(7)

將式(7)代入式(6)，得到多點的響應關系式為

(8)

式(8)有實解的充要條件是測量響應點個數n不小于小波基函數的階次i。式(8)記為

(9)

2 小波級數分解的階次確定原則

(10)

(11)

(12)

將式(11)代入式(12)，得到

(13)

A(t)表示小波系數向量A中的第t個元素即at，X(t)表示響應測量點向量X的第t個響應點Xt，(t=1,2，…，n)，得到式(13)的離散形式為

(14)

對A(t)作Fourier變換，得

(15)

根據Parseval定理，時域的總能量應等于頻域的總能量

(16)

將式(15)代入式(16)，根據Cauchy不等式得

(17)

(18)

(19)

根據式(17)的收斂速度，得到

(20)

(21)

圖1 12階小波級數擬合結果Fig.1 Result of wavelet series fitting with 12 orders

根據式(21)來確定階次i的取值。一般的，當誤差精度等級越高，階次i值越大。

3 仿真驗證

通過計算機仿真對以上理論進行驗證。以受連續分布動載荷的Bernoulli-Euler梁為仿真模型。梁的各參數設定為：ρA=1 kg/m，?=60 Hz，EI=0.256 649 556 2 Nm2，l=1，內阻尼系數c1=0.1，外阻尼系數c0=0。

3.1 外激勵為多頻率疊加信號的識別

外激勵形式如p(x,t)=f(x)sin(?t)=[sin(2πf1x)+sin(2πf2x)+sin(2πf3x)]sin(?t)，f1=5 Hz,f2=10 Hz,f3=15 Hz，采用不同階次Marr小波級數擬合的識別載荷與真實載荷的對比和相對誤差如圖1～3所示。響應信息帶10%噪聲的識別效果如圖4所示。圖5和圖6分別給出了100階Marr小波級數系數(無噪聲和帶10%隨機噪聲)的趨向。不同階次的載荷識別誤差數據見表1。

圖2 23階小波級數擬合結果Fig.2 Result of wavelet series fitting with 23 orders

圖3 49階小波級數擬合結果Fig.3 Result of wavelet series fitting with 49 orders

圖5 多頻率疊加信號的小波級數系數趨向Fig.5 The tendency of wavelet series coefficient in fitting multi-frequency load signal

圖4 12階小波級數擬合結果(含10%噪聲)Fig.4 Result of wavelet series fitting with 12 orders(with 10% noise)

3.2 外激勵為實際載荷信號的識別

外激勵p(x,t)=f(x)sin(?t)，其中：f(x)為帶隨機噪聲的實際載荷。實際外激勵的幅值如圖7所示。 當載荷識別的誤差等級ε要求控制在1%～10%時，根據式(21)得到小波級數分解的階次i=52，計算得到的載荷識別幅值與原始載荷幅值對比及相對誤差如圖8所示。最大誤差為17.51%，平均誤差為1.19%，最大誤差的位置在x=0.930 m。 Marr小波級數系數趨向如圖9所示。

表1 多頻率疊加載荷信號識別的階次選取及識別結果

Tab.1 Order selection and identification results in fitting multi-frequency load signal

實際工程需求誤差等級載荷識別最大誤差/%載荷識別平均誤差/%識別最大誤差出現的位置/mMarr小波級數擬合階次1%～10%7．233．070．188120．1%～1%0．730．240．031230．01%～0．001%0．760．040．750491%～10% (含10%隨機噪聲)10．59 8．490．54212

圖7 實際外載荷幅值f(x)波形Fig.7 Real load amplitude f(x)

圖8 52階小波級數擬合結果Fig.8 Result of wavelet series fitting with 52 orders

圖9 實際載荷信號的小波級數系數趨向Fig.9 The tendency of wavelet series coefficient in fitting real load signal

需要指出的是：在有噪聲擾動的情況下，識別出的小波系數有可能會出現波動，甚至會超出小波系數包絡線，此時可根據噪聲擾動對小波系數包絡線進行修正，使小波系數包絡線的收斂速度低于小波系數的收斂速度。

4 試驗驗證

在兩端自由的Bernoulli-Euler梁上，參數設定同仿真驗證中的參數一致。外激勵為作用在x0=0.32 m的沖擊載荷，形式為p(x,t)=f(x,t)δ(x-x0)，其中，δ為單位脈沖函數。在工程實際中，沖擊載荷的時間歷程可近似用典型波形-半正弦波形[12]來代替

(22)

其中：參數P與τ分別表示沖擊載荷的幅值和持續時間。

建模過程中沖擊載荷由脈沖力錘產生，沖擊載荷信號用力傳感器測量，梁上均勻布置4個加速度傳感器以測量加速度響應，所有測量信號由NI公司開發的signal express分析儀和PXI采集卡進行采集和處理，結構試驗系統如圖10所示。

圖10 兩端自由Bernoulli-Euler梁載荷識別試驗系統Fig.10 Load identification lab system on free Bernoulli-Euler beam

根據Bernoulli-Euler梁上小波級數分解法的分布動載荷時域識別理論[13]，對沖擊載荷幅值f(t)進行小波級數分解。當載荷識別的誤差等級ε要求控制在1%～10%時，根據式(21)得到小波級數分解的階次i為36階，識別沖擊載荷與測量沖擊載荷的時間歷程如圖11所示。小波級數系數趨向如圖14所示。相同參數設定的計算機仿真識別效果如圖12，13和表2所示。

圖11 沖擊載荷時間歷程的試驗識別結果Fig.11 Lab identification results of impact load in time history

圖12 沖擊載荷時間歷程的仿真識別結果Fig.12 Simulation identification results of impact load in time history

圖13 沖擊載荷信號的小波級數系數趨向(仿真)Fig.13 The tendency of wavelet series coefficient in fitting impact load signal

表2 沖擊載荷信號的時間歷程仿真識別結果

圖13驗證了沖擊載荷識別的時間歷程與實測時間歷程能夠較好地吻合，本研究的小波階次選取理論計算出的沖擊載荷與真實沖擊載荷的相對誤差滿足工程需求的相對誤差等級ε=1%～10%，如表3所示。

表3 沖擊載荷信號的時間歷程試驗識別結果

5 結束語

正交小波基函數和正交多項式函數對信號進行擬合時，階次的確定一直是實際工程研究的難題。當擬合階次過少，會產生擬合精度過低，在求解方程組時對小擾動非常敏感；當擬合階次過多，需要更多的響應測量點；根據條件循環控制來選取擬合階次則會大大降低計算的效率。筆者根據基于正交小波級數分解法的Bernoulli-Euler梁的分布動載荷識別過程的小波系數的規律特點，給出小波系數包絡線，小波級數擬合的階次根據實際需求的載荷識別相對誤差等級來確定。

計算機仿真驗證了在有噪聲干擾的情況下，采用本研究工作的理論確定的擬合階次同樣能夠滿足實際需求的載荷識別相對誤差范圍。試驗過程驗證了針對不同的載荷類型，本研究工作的定階理論同樣適用。

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*國家自然科學基金資助項目(51305197)；航空科學基金資助項目(2012ZA52001)；高等學校博士學科點專項科研基金資助項目(20123218120005)；江蘇高校優勢學科建設工程資助項目

2014-05-23；

2014-06-26

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.009

TH113.1; TB123; V214.3; O32; O302; O241.5

楊帆，男，1983年11月生，博士研究生。主要研究方向為小波動載荷識別。曾發表《基于小波級數分解法的動載荷識別研究》(《清華大學學報：自然科學版》2013年第53卷第8期)等論文。 E-mail:13851791924@163.com