地震多點反應譜模型存在缺陷的改進與驗證*

柳國環， 練繼建， 國 巍， 耿 辰， 田 利

(1.天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室 天津，300072) (2.天津大學建筑工程學院 天津，300072)(3.中南大學土木工程學院 長沙，410075) (4.天津城建大學土木工程學院 天津，300384)(5.山東大學水利與建筑工程學院 濟南，250100)

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地震多點反應譜模型存在缺陷的改進與驗證*

柳國環1，2， 練繼建1，2， 國 巍3， 耿 辰4， 田 利5

(1.天津大學水利工程仿真與安全國家重點實驗室 天津，300072) (2.天津大學建筑工程學院 天津，300072)(3.中南大學土木工程學院 長沙，410075) (4.天津城建大學土木工程學院 天津，300384)(5.山東大學水利與建筑工程學院 濟南，250100)

推導出基于位移和位移-速度輸入模型的多點反應譜。闡述了基于位移輸入模型所導出反應譜的缺陷及其邏輯必然性，說明了基于加速度模型導出的多點反應譜計算結果有效的偶然性、必然性及其適用范圍，并給出數值算例予以驗證。分析表明：基于位移-速度導出的多點反應譜理論嚴格；基于位移輸入模型導出的多點反應譜會導致底部單元內力不收斂，計算結果不合理；基于加速度輸入模型導出的多點反應譜結果雖然有效，但適用于經典阻尼體系，在推導過程中的忽略項在理論上具有誤差相互抵消的特點。

地震地面運動； 多點反應譜； 加速度輸入模型； 位移-輸入模型； 位移-速度輸入模型； 經典阻尼

引言

當前，地震動多點輸入下的結構反應分析已成為抗震工程界研究熱點之一，位移輸入計算模型備受青睞。在頻域內，根據隨機振動理論可以推導出多點響應譜(multi-support response spectrum，簡稱MSRS)法理論表達式，與時程分析方法相比，該方法計算快、簡單實用，可方便用于工程結構設計。

國內外學者在MSRS法方面進行了諸多研究。Alejandro等[1]針對地震激勵下的二次結構在多支撐輸入下進行了反應譜分析。Berrah等[2]利用修正系數對反應譜值進行修正來考慮地震動多點激勵的空間變化效應，并利用一致激勵情形時組合方法求解結構最大響應。Kiureghian等[3]采用隨機振動理論推導出具有較嚴格意義的MSRS法，考慮了行波效應、部分相干和局部場地效應影響、地面運動的相關性以及各振型之間的相關性。Loh等[4]針對MSRS計算量大的缺點，給出了積分系數求解簡化的計算方法。王君杰[5]推導出一般阻尼結構體系在多維多點地震動作用下的結構響應MSRS法。劉先明等[6]對擬靜力反應項與動力反應項進行了研究并予以簡化，減少了計算量。

目前，MSRS法是基于位移-速度輸入模型基礎上忽略兩項阻尼的加速度輸入模型而推導出的，包括由Kiureghian提出的目前相對最為嚴密的MSRS法。值得一提的是，Wilson[7]提到：采用數學模型分析可能得到與實際物理模型行為有較大差異的計算結果，并作了相關說明。這里所談及到的數學模型即為加速度輸入模型。近年來，位移輸入模型被廣泛采用，筆者也強調了位移輸入模型的優勢與缺陷[8]，陸續作了系統性相關介紹。基于文獻[7]，筆者在后續工作中詳細分析了位移輸入模型存在的問題[9]，并提出了理論嚴格的無質量剛性元(appended massless constraint element，簡稱AMCE)實效對策。為了便于結構工程師解決實際工程問題，進一步提出了無質量剛性元法[10]，該方法已經應用于一實際橋梁工程計算[11]。相比之下，位移-速度模型保留了速度項，相關內容參見文獻[9-10]。

與位移-速度模型相比，加速度輸入模型忽略了兩項阻尼，位移輸入模型忽略了一項阻尼，導致了基于該模型得到的MSRS表達式有所不同。鑒于此，筆者說明了當前基于“加速度輸入模型”導出的MSRS模型的“偶然性”和“必然性”，指出基于位移輸入模型導出MSRS的不合理及其邏輯必然性，闡述了有必要基于“位移-速度輸入模型”導出MSRS的邏輯性和必要性，并給出理論公式。最后，結合算例進行了驗證與說明。

1 時域輸入模型本質區別

1.1 時域模型公式推導及其區別

一離散單元的結構體系與地面剛性連接，將其自由度分為兩類：n個非支座節點自由度與m個支座節點自由度。地震地面運動作用下，該體系的動力平衡方程[1]可表達為

(1)

(2)

式(2)即為位移-速度輸入模型。將結構非支座節點的絕對位移分為兩部分表達

X=Xd+Xs

(3)

(4)

其中：R為影響矩陣。

(5)

(6)

表1為3種不同計算模型或等價模型右端項對比與說明。同時，基于不同計算模型導出的多點反應譜在表中也給出了名稱，便于描述方便。

表1 3種不同計算模型或等價模型右端項對比與說明

Tab.1 Comparision among the right-hand items of three different calculation models or equivalent models

時域計算模型位移?速度模型等價模型位移輸入模型等價模型加速度輸入模型右端項相應多點反應譜

1.2 基于不同輸入模型的多點反應譜

相比之下，基于位移-速度輸入模型導出的MSRS，即DV-MSRS邏輯上理論最為嚴格，因為位移-速度輸入模型本身不涉及到忽略項。鑒于此，筆者推導出基于位移-速度輸入模型的DV-MSRS和基于位移輸入模型的D-MSRS，并指出其不收斂的問題。

2 基于位移-速度與位移時域模型的結構反應表達式

2.1 基于位移-速度模型的結構反應表達式

基于文獻[3]，根據式(2)推導結構時域反應計算公式。式(1)中，當不考慮慣性力與阻尼項時，有下式成立

KttXs+KtuU=0

(7)

(8)

其中：Xs為擬靜力反應。

結構絕對反應X可表達為動反應Xd與Xs之和，即

X=Xd+Xs

(9)

將式(7)，(8)代入式(2)，得到

(10)

(11)

令

R=[r1…rk…rm]T

(12)

(13)

其中：rk為R的第k列向量；ik為m維單位矩陣的第k列向量。

將式(12)，(13)代入式(11)，得到

(14)

其中：U=[u1(t)…uk(t)…um(t)]T。

令

yi=yiα+yiβ

(15)

則

(16)

(17)

(18)

(19)

分別比較式(16)，(18)和式(17)，(19)，得到

(20)

(21)

因此，可得到廣義坐標為

(22)

根據有限元知識，結構反應可表達為

(23)

其中：系數ak，bki和cki分別表示為ak=ΗTrk(k=1,…,m)；bki=ΗTφiαki(k=1,…,m;i=1,…,n);cki=ΗTφiβki(k=1,…,m;i=1,…,n);Η為反應轉換向量。

2.2 基于位移和加速度模型的結構反應表達式

(24)

(25)

3 基于時域模型的多點反應譜

根據隨機振動理論及文獻[3]，有下式成立

(26)

(27)

對式(26)兩邊在ω∈(-∞,+∞)上進行積分，得到結構反應方差的表達式為

(28)

(29)

(30)

表2 3種形式多點反應譜對比

Tab.2 Comparision among the three multiple-supported response spectrum

多點反應譜名稱DV?MSRSD?MSRSA?MSRS譜表達式Sr(ω)Sdr(ω)Sar(ω)分析比較沒有省略任何項表達形式同Sr(ω)，但cdki≠cki表達形式同Sr(ω)，但caki=0

4 算例驗證

4.1 算例與相關參數

如圖1所示，算例模型包括構件(切向剛度表示為K1和K3，軸向彈簧剛度表示為K2)、節點(上部節點和支座節點)以及相關參數表示。方便起見，只考慮水平x向平動有效自由度。

圖1 算例模型示意圖Fig.1 Model sketch of numerical example

反應向量為

(31)

(32)

(33)

相應的剛度和質量矩陣分別為

(34)

(35)

(36)

(37)

(38)

(39)

(40)

通過模態分析，得到兩個振型的廣義模態質量以及相應的振型向量為

(41)

(42)

(43)

根據兩個振型的圓頻率ω1=25.334rad/s和ω2=25.338rad/s以及振型阻尼比ξ1=ξ2=0.02，得到瑞利阻尼的質量阻尼系數α=0.507和剛度阻尼系數β=7.89×10-4。計算式(11)中的Ctt和Ctu，根據式(13)得到由αki和βki組成的系數矩陣A和B為

式(26),(27)中傳遞函數Hj(iω)由模態圓頻和阻尼比也可求出。

4.2 DV-MSRS驗證及其與D-MSRS和A-MSRS對比

圖2為分別采用位移-速度輸入模型對文中算例進行時程計算結果(HHT積分方法)。可以看出：采用位移-速度輸入模型，不同n值底部單元剪力(底部剪力)基本重合，而采用位移輸入模型則計算結果不同且差異較大，說明了當前被廣泛采用的位移輸入模型存在底部單元內力隨單元逐步劃分不穩定且不收斂的問題，從而說明了文獻[9-10]強調的問題不容忽視。

圖3為位移-輸入模型與加速度輸入模型的剪力對比與相對誤差(n=100)，說明結果比較相近。

表3為以位移-速度輸入模型的直接積分時程法(以此計算結果為標準)，DV-MSRS，D-MSRS和A-MSRS計算得到的反應方差，并給出誤差分析。可以看出，由DV-MSRS計算的誤差為5.41%(n=10)和5.28%(n=100)。這不僅說明了筆者所改進的模型結果的有效性和精確性，也說明了DV-MSRS計算結果的穩定性。相比之下，采用D-MSRS計算結果的誤差為9.08%(n=10)和1 368%(n=100)，進一步說明了D-MSRS的不可靠性和不穩定性，這在理論上具有邏輯必然性。采用A-MSRS計算結果的誤差為7.13%(n=10)和6.67%(n=100)，說明對于經典阻尼體系，A-MSRS與DV-MSRS計算結果的相近性。

表3 采用不同方法計算底部單元剪力的方差與誤差分析

圖2 不同計算模型不同工況底部單元剪力時程Fig.2 Shear force history of different cases using different analysis model

圖3 位移-速度與加速度底部單元剪力比較Fig.3 Comparision of shear force between displacement-velocity and acceleration model

5 結 論

1) 說明A-MSRS計算結果的有效性，客觀認識A-MSRS，指出了在理論上嚴格的適用范圍為經典阻尼結構體系。

2) 指出D-MSRS所導致問題(底部單元內力隨單元精細劃分而不收斂)的邏輯必然性，分析其根本原因，并通過算例驗證。

3) 推導出DV-MSRS，并通過算例驗證了計算結果的有效性和穩定性。對于非經典阻尼結構體系，指出了DV-MSRS與A-MSRS之間的差別及其不容忽視性。

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*國家自然科學基金青年基金資助項目(51408409)；中國博士后科學基金資助項目(2011M500332)

2013-07-16；

2013-09-16

10.16450/j.cnki.issn.1004-6801.2015.01.005

P315.9; U442

柳國環，男，1980年6月生，博士、副教授。主要研究方向為工程結構動力計算。曾發表《求解結構地震響應位移輸入模型中存在問題的一種新解決方法》(《工程力學》2010年第27卷第9期)等論文。

E-mail：liugh@tju.edu.cn