基于響應面法的轉向驅動橋空心半軸輕量化優化設計*

汪朝暉,朱發淵,呂 密,陳 思

(1.武漢科技大學機械自動化學院，武漢 430081；2. 重慶建設工業(集團)有限責任公司，重慶 400054)

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2015248

基于響應面法的轉向驅動橋空心半軸輕量化優化設計*

汪朝暉1,朱發淵1,呂 密2,陳 思1

(1.武漢科技大學機械自動化學院，武漢 430081；2. 重慶建設工業(集團)有限責任公司，重慶 400054)

提出了一種基于數值優化與有限元模擬相結合的汽車轉向驅動橋空心半軸輕量化設計方法。以半軸各段的壁厚、長度和過渡角為設計變量，半軸質量最小化為優化目標，2階約束模態頻率和半軸花鍵末端圓角過渡處等效應力為約束條件，建立了半軸輕量優化模型。利用正交試驗設計得到10個設計變量和3個水平的數值模擬試驗組合。采用最小二乘法建立了響應面近似模型，并利用序列二次規劃算法對模型進行了迭代優化。結果表明：輕量化優化后的變徑全空心半軸質量比初始設計減少約16.7g，半軸2階約束模態頻率增加約0.6Hz，且半軸花鍵末端圓角過渡處和最小軸徑處的等效應力值均低于半軸材料的抗扭強度。

空心半軸;輕量化設計;正交試驗設計;最小二乘法;響應面模型

前言

汽車輕量化設計是節約能源消耗的重要途徑，研究表明：汽車運動部件質量每減輕1%，則可節油2%[1]。轉向驅動橋半軸是汽車最重要的運動零部件之一，它對汽車的驅動性能和運行穩定性有重要影響。傳統的轉向驅動橋半軸結構輕量化優化設計主要是依據工程經驗，其試驗研究難度較大，設計周期冗長。因此，采用新的輕量化優化方法設計轉向驅動橋半軸勢在必行。

國內外諸多學者在保證汽車傳動軸工作可靠的基礎上引入材料低載強化特性獲取新型傳動軸結構，取得了較好效果。文獻[2]中以材料40Cr的低載強化特性為依據，設計出空心傳動軸，并對輕量化的傳動軸進行強度校核及模態對比分析，驗證了設計可行性；文獻[3]中在傳動軸結構優化過程中，以最佳累積強化效果為目標，根據設計應力分布區間與結構低載強化特性區間的對應關系獲取了結構尺寸參數，驗證了結構輕量化設計的有效性。但以上傳動軸輕量化設計并不是軸類零部件最優化結構，其空心傳動軸內徑值不變，在一定程度上沒有達到節約材料的目的。

國內外學者通常是尋找合適的替代模型來對具體的工程問題進行優化。文獻[4]中在白車身開發早期引入結構輕量化思想，建立隱式全參數化白車身優化設計近似模型，通過多學科優化獲取了白車身零件形狀、尺寸、位置與厚度等各參數之間的最佳組合；文獻[5]中選擇拉丁超立方試驗抽樣數據，并在考慮多變量和處理近似誤差的基礎上，使用稀疏響應面法評估各種結構機械的可靠性；文獻[6]中利用基于移動最小二乘的響應面法建立了機械結構可靠性分析的近似模型，結果表明：對于隨機變量其基于移動最小二乘的近似響應面函數更加高效和準確。

本文中以當前利用材料低載強化特性理論自主研發的新型轉向驅動橋變徑空心半軸作為進一步輕量化設計對象，將數值優化方法與有限元模擬技術相結合，利用正交試驗設計得到試驗樣本數據，通過最小二乘法對試驗設計數據進行擬合，獲取具有較好預測精度的半軸輕量化的近似模型，并采用序列響應面優化方法對近似模型進行優化。本文中通過改變空心半軸的徑向厚度、縮徑段長度及其過渡角，尋找一組合適的半軸管參數，使空心半軸在滿足汽車驅動性能和穩定性的前提下質量最小，研究結果可為汽車驅動系統半軸及其相關零部件的輕量化優化設計理論及方法奠定基礎。

1 基于響應面法的優化方法

1.1 二次響應面近似模型

工程實踐的大部分優化設計問題中，其目標函數與設計變量之間的函數關系是未知的。而以試驗設計為基礎的統計處理技術-響應面法(response surface method,RSM)可較精確地建立目標函數與設計變量之間的近似數學預測模型[7]。

2階多項式響應面近似模型具有良好的連續性和可導性，具有易于實現快速尋優等特點，因而在工程實際中得到廣泛應用[8]。本文中采用的近似模型為

(1)

式中：n為設計變量數;xi和xj為第i和第j個設計變量；βi，βii和βij為回歸系數；ε為誤差項。

其矩陣形式為

Y=βX+λ

(2)

式中：X為設計變量矩陣；Y為試驗實際響應矩陣；β為回歸系數矩陣；λ為誤差項矩陣。

設b=[b1,b2,…,bk]T為β=[β1,β2,…,βk]T的最小二乘估計，由最小二乘法可知，[b1,b2,…,bk]T應使全部觀察值yi與回歸值yi1的偏差平方和Q達到最小。

(3)

由微積分學的極值定理可知，b=[b1, b2,…, bk]T應是式(4)方程組的解，解方程組即可得到式(5)所示的多項式系數的無偏估計[9]。

(4)

b=(XTX)-1XTY

(5)

式中：b0和bj分別為回歸系數β0和βj的無偏估計；b為回歸系數的無偏估計矩陣；X為設計變量矩陣；Y為試驗實際響應矩陣。

1.2 序列二次規劃優化算法

序列二次規劃算法源于擬牛頓法，是最簡單的約束非線性規劃算法[10]，工程上常見的具有不等式約束的非線性規劃問題一般表示為

(6)

序列二次規劃的原理為在當前的迭代點xk處作泰勒展開，將目標函數的二次近似及約束函數的一次近似構成一個如式(7)所示的子二次規劃問題，然后通過求解這個二次規劃獲得下一迭代點xk+1。

(7)

式中：k為迭代次數；dk為第k次迭代的優化搜索方向；Bk是正定矩陣，初始化時為單位矩陣。解式(7)所示的子二次規劃問題，得到的dk就是搜索方向，沿搜索方向進行一維搜索，確定步長ak，然后按式(8)的格式進行迭代，最終得到非線性約束問題的最優解[11]。

xk+1=xk+akdk

(8)

2 正交試驗設計

試驗設計是構建響應面近似模型必不可少的環節，其主要作用是研究設計參數對響應的影響。由于全面試驗空間巨大，導致數值模擬和優化迭代時間很長，因此，須要在整個設計空間選取有限數量能盡可能反映設計空間特性的樣本點，以提高運算效率。

正交試驗設計是研究和處理多因素試驗的一種科學的方法，其思想是均勻分散和整齊可比，以減少試驗次數，提高試驗精度[12]。首先，利用合理的正交表安排少量試驗，獲得反映全面試驗的分析信息；其次，采用方差分析等數理統計方法對試驗分析結果進行處理，從多個因素中獲得主、次要因素及其對試驗的影響規律，得到更為科學和合理的結論。

由圖1 所示的三因素三水平試驗的立體圖可以看出，采用正交表安排的試驗，具有均衡分散、整齊可比、代表性強和效率高的特點。

3 半軸輕量化優化模型

由半軸使用經驗和輕量化的多學科優化問題可知，在半軸結構安全設計學科中主要考慮其在使用過程中承受著較大的交變載荷，其結構必須具有足夠的靜強度和剛度來滿足其疲勞壽命、裝配和使用的要求。另外，半軸的低階模態振型是其能否正常工作的重要性能之一，必須有合理的動態特性來達到控制振動與噪聲的目的。

文獻[13]中對變徑空心半軸的研究表明：半軸的1階約束模態為剛體模態，真正意義上的約束模態是從第2階模態振型開始的。因此，本文中考慮以空心半軸端花鍵圓角過渡處等效應力、半軸2階約束模態和半軸質量為設計響應，其輕量化優化設計問題的數學模型可表示為

(9)

式中：m(d)為半軸質量；fq為半軸的2階約束模態值；[f]為半軸的2階約束模態許用極限；σr為半軸在滿載工況下的最大應力值；[σ]為半軸在滿載工況下的許用強度極限；d為設計變量矩陣。

采用上述有限元數值模擬和響應面建模相結合的方法，在不改變圖2所示的變徑空心半軸材料及外形尺寸的前提下對其進行輕量化優化設計。

變徑空心半軸材料為34MnB5，標準為DIN 10305-2，編號為1.1166，等級為N級，試驗測得半軸材料34MnB5的相關特性參數如表1所示。

表1 材料特性參數

4 半軸輕量化優化計算

4.1 試驗方案

對于本文中空心半軸輕量化優化問題，考慮到半軸使用經驗和前期的數值模擬結果，最終選用10個設計變量，每個變量取3個水平，得到如表2所示的數值模擬試驗組合。考慮到正交表的選用規則，選用L27(311)正交表來安排數值模擬試驗，留有1空列作為試驗誤差衡量試驗的可靠性。

表2 數值模擬試驗因子及其水平

4.2 數值模擬結果分析

變徑空心半軸的三維有限元模型如圖3所示，其中圖3(a)為整軸模型，圖3(b)為軸端模型。由于軸端花鍵齒部位結構較不規則，故采用10節點的四面體單元，半軸其他規則部位則采用20節點的六面體單元；在極限載荷下的半軸靜態有限元模型節點個數為152 738，單元數為103 258；在約束下的模態分析有限元模型節點個數為46 220，單元數為27 574。因半軸內端花鍵與三銷式滑移節連接確保其能沿軸向移動，故本文中約束空心半軸內端花鍵節點的5個自由度。在其空心半軸外端施加極限轉矩Tmax=3 700 N·m，轉矩載荷加載于花鍵處，加載位置為花鍵的單側斜面。

在對試驗結果進行方差分析時，如果誤差自由度(dfe)很小，F檢驗靈敏度很低，即使因素對試驗指標有影響，用F檢驗也判斷不出來[13]。本文中為了增大誤差自由度，提高F檢驗靈敏度，在進行顯著性檢驗之前，先比較各因素方差與誤差方差，若MSf小于2MSf，將這些因素的偏差平方和與自由度并入誤差的偏差平方和與自由度，使誤差的偏差平方和與自由度增大，從而提高F檢驗的靈敏度。

半軸質量響應的方差分析如表3所示。由分析結果可知：T6和L2的F值分別為12.504和19.731，大于F0.01(2，16)=6.23，對目標函數的影響高度顯著；T2和α1的F值分別為4.480和6.004，大于F0.05(2，16)=3.63，對目標函數的影響顯著；T7的F值為3.127，大于F0.1(2，16)=2.67，對目標函數的影響比較顯著。其余設計變量對目標函數的影響很小，基本可以忽略。因此，經過方差分析，篩選出T6，L2，T2，α1和T7作為設計變量，構建輕量化優化設計的數學模型，半軸輕量化優化設計的規模將很大程度上得到減小。

表3 半軸質量響應方差分析結果

4.3 響應面預測模型與優化

運用本文中提出的輕量化優化設計方法，建立了變徑空心半軸質量m的響應面近似模型：

m=(10.1239+0.0105T2-0.6737T6-0.0298T7-

0.016172L2+0.0588α1+0.8651T2T6+0.6604T2T7+

0.5691T6T7-0.0340T2L2-0.0293T7L2-0.1630T2α1+

0.2794T6α1+0.3008T7α1+0.0039L2α1-0.0349T22+

3.9167T62-1.6042T72)×103

(10)

方差分析檢驗了多項式響應面的精度，其R2為0.951，Ra2為0.979。由此可知，該二次多項式響應面近似模型的擬合精度較好，能精確反映目標函數與設計變量之間的數學關系，可用它來替代物理有限元模型。利用序列二次規劃算法(SQP)對上述多項式響應面近似模型進行迭代優化計算，整個優化過程僅需4次迭代就可收斂并得到最優解，優化前后半軸設計變量及其響應的初始值和優化值見表4。

表4 設計變量和響應值的初始值和優化值

由表4可知，通過對采用最小二乘擬合得到的半軸質量多項式響應面近似模型進行優化，使半軸質量比初始設計時減少約16.7g，較好地降低了半軸的質量，它將對汽車的節能減排起到較為重要的作用；半軸的2階約束模態值增加了約0.6Hz，這將一定程度上改善汽車的乘坐舒適性能和平順性能。

新型輕量化優化設計的半軸在極限轉矩下的等效應力云圖如圖4所示，等效應力最大值發生在一小部分半軸花鍵圓角過渡處，等效應力大于1 500MPa的范圍很小，基本集中在花鍵圓角過渡部位。這是由于半軸在傳遞工作轉矩時，各花鍵齒近似受到單側均布載荷，所以在靠近半軸端面的鍵齒齒面應力較小，齒形截面通過圓角過渡到光軸圓截面，引起應力局部增大。但由于花鍵自身齒數較多，鍵齒受力均勻，所以圓角過渡處應力梯度較小。半軸花鍵末端圓角過渡處和最小軸徑處的等效應力值均低于半軸材料的抗扭強度1 934.10MPa，新型輕量化優化設計的半軸滿足強度設計要求。

5 結論

在滿足綜合機械性能的前提下，為獲得質量較小的轉向驅動橋變徑空心半軸，提出并建立了一種基于有限元數值模擬和近似響應面法的半軸輕量化優化設計方法。

(1)采用正交試驗設計采集數值模擬數據，基于最小二乘擬合法建立多項式響應面近似模型，并將其引入到半軸輕量化優化設計中，可以較為準確地描述設計變量與設計目標之間的關系。

(2)在較好地滿足靜態扭轉剛度和強度要求下，建立了變徑空心半軸輕量化優化設計的響應面近似模型，運用該多項式響應面近似模型進行優化計算，并結合序列二次規劃優化算法分析了半軸管參數對半軸質量的影響。

(3)在滿足半軸工作安全性設計的同時，較好地達到了半軸質量較小的優化目標，縮短了優化設計周期，并且相對于原半軸結構，左右兩半軸的頻率較好地達到一致，有效提升了整車舒適性。

[1] Reginald T. Trends in Automotive Light Weighting[J]. Metal Finishing, 2013, 111(2): 23-25.

[2] Zheng S L, Xu H H, Feng J Z, et al. Lightweight Design of Automobile Drive Shaft Based on the Characteristics of Low Amplitude Load Strengthening[J]. Chinese Journal of Mechanical Engineering, 2011, 24(6): 1111-1114.

[3] 儲軍, 鄭松林, 馮金芝, 等. 基于低幅鍛煉載荷的累積強化效果模型[J]. 機械工程學報, 2011, 47(16): 30-34.

[4] 史國宏, 陳勇, 楊雨澤, 等. 白車身多學科輕量化優化設計應用[J]. 機械工程學報, 2012, 48(8): 110-114.

[5] Roussouly N, Petitjean F, Salaun M. A New Adaptive Response Surface Method for Reliability Analysis[J]. Probabilistic Engineer Mechanics, 2013, 32(4): 103-115.

[6] Kang S C, Koh H M, Choo J F. An Efficient Response Surface Method Using Moving Least Squares Approximation for Structural Reliability Analysis[J]. Probabilistic Engineer Mechanics, 2010, 25(4): 365-371.

[7] Zhao W T, Qiu Z P. An Efficient Response Surface Method and Its Application to Structural Reliability and Reliability-based Optimization[J]. Finite Elements in Analysis and Design, 2013, 67(5): 34-42.

[8] Ye L, Yang M, Xu L, et al. Optimization of Inductive Angle Sensor Using Response Surface Methodology and Finite Element Method[J]. Measurement,2014, 48(2): 252-262.

[9] Allaix D, Carbone V. An Improvement of the Response Surface Method[J]. Structural Safety, 2011, 33(2): 165-172.

[10] 徐敬華, 張樹有, 沈煒良. 基于序列二次規劃的動態可局部稱重方法[J]. 中國機械工程, 2009, 20(8): 892-895.

[11] Guo C H, Bai Y Q, Jian J B. An Improved Sequential Quadratic Programming Algorithm for Solving General Nonlinear Programming Problems[J]. Journal of Mathematical Analysis and Applications, 2014, 409(2): 777-789.

[12] 王平, 鄭松林, 吳光強. 基于協同優化和多目標遺傳算法的車身結構多學科優化設計[J]. 機械工程學報, 2011, 47(2): 102-108.

[13] Joardar H, Das N S, Sutradhar G, et al. Application of Response Surface Methodology for Determining Cutting Force Model in Turning of LM6/SiCPMetal Matrix Composite[J]. Measurement, 2014, 47(1): 452-464.

Lightweight Optimization Design of the Hollow Half Shaft of Steering Drive Axles Based on Response Surface Method

Wang Zhaohui1, Zhu Fayuan1, Lü Mi2& Chen Si1

1.CollegeofMechanicalEngineering,WuhanUniversityofScienceandTechnology,Wuhan430081;2.ChongqingConstructionIndustrial(Group)Co.,Ltd.,Chongqing400054

A lightweight design method is proposed for the hollow half shaft of a vehicle steering drive axle based on the combination of numerical optimization and finite element simulation. An optimization model for the lightweighting of half shaft is set up with the thicknesses and lengths of different parts and the transitional angle of half shaft as design variables, minimizing the mass of half shaft as optimization objective, and the 2ndorder constrained mode frequency and the equivalent stress at the filleted corner of spline end as constraints. A numerical simulation experiment combination of ten design variables with three levels each is determined by using orthogonal experimental design, a response surface approximation model for the half shaft is established by using least squares method, and an iteration optimization is conducted on the model with sequential quadratic programming algorithm. The results show that after lightweighting optimization the mass of hollow half shaft reduces by 16.7g, the frequency of 2ndorder constrained mode increases by 0.6Hz, and the equivalent stresses at both the filleted corner of spline end and the location with smallest diameter are lower than the torsional strength of half shaft material.

hollow half shaft; lightweight design; orthogonal experimental design; least square method; response surface model

*重慶市科技攻關計劃項目(CSTC2014YYKFB0187)和武漢科技大學研究生創新創業基金(JCX0018)資助。

原稿收到日期為2014年5月8日，修改稿收到日期為2014年8月21日。