Hull-White利率模型仿真與債券估值

陳 勇，鄧 坤

(湖南大學 金融與統計學院，湖南 長沙 410079)

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Hull-White利率模型仿真與債券估值

陳 勇，鄧 坤

(湖南大學 金融與統計學院，湖南 長沙 410079)

應用Vasicek模型和Nelson-Siegel模型估計Hull-White利率模型的參數，運用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，根據利率路徑估計中國國債的價值，并進行敏感性分析.結果表明，運用蒙特卡洛方法模擬Hull-White利率模型，具有計算簡單和運算速度快的特點，且債券估值的結果較為精確.該方法可廣泛地應用于債券及其衍生品的定價分析.

利率期限結構；Hull-White模型；蒙特卡洛

1 引 言

利率期限結構是某個時點上債券的到期期限與收益率之間的關系.利率期限結構模型是資產定價、衍生品設計和利率風險管理的基礎性問題.在利率市場化背景下，對利率期限結構的研究可以為債券的定價提供理論依據，促進債券及其衍生品的發行和交易，并為度量和管理利率風險提供工具和手段.

利率期限結構模型可以分為靜態模型和動態模型.靜態模型考慮某個時點上不同到期期限的債券收益率，應用樣條函數擬合整條利率曲線.動態模型應用隨機過程刻畫利率波動.動態模型根據隨機因子的個數可以分為單因子模型、雙因子模型和多因子模型.單因子模型應用單因子擴散過程刻畫即期利率的動態變化.由于單因子模型的參數估計簡單，往往可以求出解析解，應用最為廣泛.

Vasicek(1977)[1]應用均值回歸的擴散過程描述即期利率的波動，是最早的單因子模型.為了克服Vasicek模型名義利率可能為負的缺點，Cox、Ingersoll & Ross(1985)[2]提出了均值回歸的平方根擴散過程CIR模型.后來，Chan et al(1992)[3]將各種形式的單因子模型歸納為CKLS模型.

各種單因子擴散模型在很大程度上揭示了利率波動的水平效應和均值回歸特征，但是不能反映初始時期利率曲線的形狀對未來即期利率的影響.Hull & White(1990)在Vasicek模型中引入了初始時期的利率曲線，反映了初始時期經濟環境對未來即期利率的影響[4].

由于Hull-White模型的參數包含初始時期的利率曲線，數值模擬的難度較大，相關研究成果較少.已有文獻主要應用三叉樹方法對Hull-White模型進行離散化處理，并對債券及其衍生品進行定價分析.Hull & White(1994，1996)提出了分解Hull-White模型的三叉樹方法[5，6].宋逢明和石峰(2006)應用三叉樹方法模擬了銀行間債券市場的利率波動[7].石峰(2008)應用三叉樹方法對信用衍生品進行定價分析[8].

已有文獻主要采用三叉樹方法分解Hull--White模型，缺乏應用蒙特卡洛方法的研究成果.本文首先估計Hull-White模型的參數，然后應用蒙特卡洛方法模擬Hull-White模型下的利率波動，并根據利率路徑估計無風險債券價格，最后進行了敏感性分析.

2 研究思路

Hull-White模型的隨機微分方程為

drt=k(θt-rt)dt+σdBt，

其中，rt是即期利率，k是即期利率向長期平均水平收斂的速度，σ為即期利率波動的標準差，Bt是標準的維納過程，θt是長期平均即期利率，且

其中，f(0,t)是初始時期的利率曲線隱含的t時刻之后的遠期利率.

先估計Hull-White模型的參數，再應用蒙特卡洛方法模擬Hull-White模型下的利率波動，并估計債券價值.分兩步估計Hull-White模型的參數：

1)應用Vasicek模型估計參數k和σ；

2)應用Nelson-Siegel模型(NS模型)估計初始時期的遠期利率f(0,t)和θt.蒙特卡洛模擬和債券估值分為以下步驟：

1)對Hull-White模型進行變量變換并模擬利率路徑rt；

2)應用利率路徑rt對債券的現金流進行貼現，從而可以得到債券的價格；

3)敏感性分析.分析債券估值結果對參數k和σ的敏感性.

3 Hull-White模型及其參數估計

先應用Vasicek模型估計參數k和σ，再應用NS模型估計初始時期的利率曲線參數f(0,t)和θt.

3.1 Vasicek模型求解及其參數估計

Vasicek模型的隨機微分方程為

其中，rt是即期利率，k表示即期利率向長期平均水平收斂的速度，θ表示長期平均即期利率，σ為即期利率波動的標準差，Bt是標準的維納過程.

將Vasicek模型轉換為OU過程，再對OU過程求解.令xt=rt-θ，代入Vasicek模型，可以得到標準OU過程

dxt=-kxtdt+σdBt.

OU過程的解為

(1)

將xt=rt-θ代入式(1)，整理可得

(2)

rt+Δt=u+vrt+ωη，η～N(0,1)．

(3)

搜集銀行間債券市場的相關數據，應用普通最小二乘方法進行回歸分析，可以得到參數u，v和ω的估計值，再得到Vasicek模型的參數估計值k和σ.

3.2 遠期利率估計

NS模型設定的遠期利率公式為

(4)

從而得到即期利率為

(5)

已知即期利率rt，貼現因子D(t)可以表示成D(t)=e-rtt.設Ci，ti分別為無風險債券的第i筆現金流的金額和到期期限，則債券價格

可以得到β0，β1，β2和τ的估計值.

4 Hull-White模型仿真

dxt=-kxtdt+σdBt.

先應用蒙特卡洛方法模擬得到xt，再根據rt=xt+at得到利率路徑rt，最后應用利率路徑rt對債券的現金流進行貼現，從而可以得到無風險債券的價格.

5 參數估計和債券估值

5.1 Hull-White模型參數估計結果

選取期限為1個月的上海銀行間同業拆借利率估計Vasicek模型的參數.樣本期間從2008年1月至2013年11月，共71個月度數據.由于均值回歸過程屬于平穩過程，先檢驗樣本數據的平穩性.ADF檢驗結果顯示樣本數據為平穩過程，再依據式(3)進行回歸分析.回歸結果如表1所示.

表1 Vasicek模型的參數估計結果

應用NS模型擬合2013年11月1日的交易所的國債利率曲線.搜集了2013年11月1日有交易價格的14只樣本債券，應用高斯牛頓迭代法估計NS模型，最小化樣本債券的理論價格與市場價格的差額的平方和.NS模型的參數估計結果如表2所示.

表2 2013年11月1日NS模型的參數

5.2 債券估值結果與敏感性分析

我們選取2013年11月1月在上海證券交易所流通的八只附息票國債作為研究對象，債券代碼分別為019307、010501、010603、019315、010512、010107、010303、010706.用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，再用利率路徑對債券的現金流進行貼現，并將債券的估計價格和當天的實際收盤價進行比較.利率模擬的次數為1 000次.8只債券的估值結果如表3所示.

表3 樣本國債價格的預測結果

從總體上看，Hull-White利率模型對8只債券的估值結果較為精確，特別是到期期限較短的債券，理論價格與實際價格誤差不超過0.9%.究其原因，債券的到期期限越短，交易越活躍，債券的流動性越好，實際價格的波動越小.與三叉樹方法相比，蒙特卡洛方法具有實現過程簡單和運算速度快的特點，并且不存在模型偏誤.

選取代碼為010603的債券分析估值結果對參數k和σ的敏感性.從總體上看，債券價格與參數k和σ的變動方向符合預期，但是債券價格對參數變動不敏感.首先，當均值回歸速度k上升時，債券的價格上漲.當k增長時，即期利率向較高的遠期利率的收斂速度加快，導致即期利率水平上升，債券的價值趨向于下降.同時，當k增長時，在其他參數不變的情況下，即期利率的波動方差上升，由于債券價格是即期利率波動方差的增函數，債券的價值趨向于上升.由于兩種作用相互抵消，導致債券價值對k的變動不敏感.其次，當即期利率的波動標準差σ上升時，債券的價格上升.由于債券價格是即期利率的凸函數，因此，即期利率的波動越大，債券的價格越高.

6 結 論

分別應用Vasicek模型和NS模型估計Hull-White利率模型的參數，再對即期利率進行變量變換，并運用蒙特卡洛方法模擬利率路徑，最后應用利率路徑貼現債券的現金流，并分析債券估值對Hull-White模型參數的敏感性.結果表明，運用蒙特卡洛方法模擬Hull-White利率模型，具有計算簡單和運算速度快的特點，且債券估值的結果較為精確.由于Hull-White模型既考慮利率波動的特征，又反映初始時期利率曲線的影響，該方法可廣泛地應用于債券及其衍生品的定價分析.

[1]OVASICEK.Anequilibriumcharacterizationofthetermstructure[J].JournalofFinancialEconomics, 1977,5 (2): 177-188.

[2]JCCOX,JEINGERSOLL,SAROSS.Atheoryofthetermstructureofinterestrates[J].Econometrica, 1985, 53(2): 385-407.

[3]KCCHAN,GAKAROLY,FALONGSTAF,etal. An empirical comparison of alternative models of the short term interest rate[J]. Journal of Finance, 1992, 47(3): 423-455.

[4] J HULL, A WHITE. Pricing interest rate derivative securities[J]. Review of Financial Studies, 1990, 3(4): 573-592.

[5] J HULL, A WHITE. Numerical procedures for implementing term structure models: single-factor models[J]. Journal of derivatives, 1994 (1): 7-16.

[6] J HULL, A WHITE. Using hull-white interest rate trees[J]. Journal of Derivatives, 1996, 3(3): 26-36.

[7] 宋逢明，石峰．基于Hull-White模型的債券市場利率期限結構研究[J]．運籌與管理，2006(3)：34-36．

[8] 石峰．Hull-White模型在次級債定價中的應用研究[J]．運籌與管理，2008(5)：108-122．

Simulation of Hull-White Model and Bond Pricing

CHEN Yong, DENG Kun

(College of Finance and Statistics, Hunan University, Changsha, Hunan 410079, China)

This paper used the Vasicek model and the Nelson-Siegel model to estimate the parameters of Hull-White model,and simulated the Hull-White term structure model. The theoretical prices of sample bonds were priced through the Monte Carlo simulation methods. We conducted a sensitivity analysis. It is shown that simulation-based method is more precise than the three-tree one to price bonds.

term structure of interest rates; Hull-white model; Monte Carlo simulation

2015-10-15

湖南省自然科學基金資助項目(14JJ2054)

陳 勇(1972—)，男，湖南醴陵人，副教授，博士

E-mail: leochen007@hotmail.com

F830.91

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