條件風險下的兩基金分離定理

向華　楊招軍　周偉峰

摘 要 鑒于條件風險價值CVaR具有風險度量的合理性以及兩基金分離定理對證券投資的重要意義，以CVaR作為風險度量研究兩基金分離定理.在組合收益率服從正態分布的假設下，分別就投資組合含有或沒有無風險資產的情形提出并證明了兩基金分離定理；放開方差-協方差矩陣為非奇異這一通常假設，證明了CVaR風險度量下的兩基金分離定理依然成立.

關鍵詞 條件風險價值；正態分布；兩基金分離定理；奇異

中圖分類號 F830 文獻標識碼 A

Abstract Based on the rationality of the conditional value at risk as well as the important role of two fund separation theorem on securities investment， this paper analyzed the two fund separation theorem. For the portfolio with or without riskfree asset， we proved two fund separation theorem under the assumption that the portfolio return follows normal distribution. Further， we find that two fund separation theorem remains valid if the variancecovariance matrix is singular.

Key words conditional valueatrisk； normal distribution； two fund separation theorem； singular

1 引 言

隨著金融市場風險的加大，金融機構正面臨著日趨嚴重的風險，作為高風險的行業的證券業，如何給出其投資組合的風險度量是防范和控制風險的先決條件.自Markowitiz.H[1]于1952年給出了以資產收益率的方差作為風險度量以來，由于方差作為風險度量的缺陷，不斷有學者提出新的風險度量方法.最具代表性的是1999年Rockafellar and Uryaser[2]首次提出的CVaR風險度量方法， 由于該風險度量同時滿足正齊次性、次可加性、單調性和傳遞不變形， 不僅彌補了方差和VaR度量的一系列缺陷而且是一致性的風險度量方法，吸引了中外學者的極大關注.例如，Palmquist[3]給出了均值CVaR有效前沿的三種等價描述，并對CVaR的概念，性質，計算及優化等做了詳細的介紹.Rockafellar and Uryasev[4]還對損失服從一般分布的CVaR模型進行了研究.在國內，劉小茂和李楚霖[5]討論了正態情形下風險資產組合的均值CVaR的有效前沿，并與均值方差模型進行了比較.林旭東和鞏前錦[6]給出了均值CVaR模型的有效前沿的表述，總結并推導了有效前沿的性質.但他們都沒有對該風險度量下的兩基金分離定理是否成立進行推導和證明.

由于兩基金分離定理對資本資產定價模型的研究有重要意義，對CVaR風險度量下的兩基金分離定理的證明和研究，有學者已做了不少工作.例如李杰[7]在資產收益率服從t分布的條件下對兩基金分離定理進行了證明.曹靜[8]等證明了方差-協方差矩陣為非奇異的均值CVaR模型下的兩基金分離定理.本文與他們研究的區別在于：以資產收益服從正態分布這一通常假設這是因為現實經濟中大量的經濟現象都服從這一分布；其次討論了投資組合中含有無風險資產的情形，因為投資者通常都有這樣的流動性機會；再次，本文放開方差-協方差矩陣為非奇異這一經典假設.這是因為市場上風險資產數量日益繁多，且近年來隨著各種衍生金融產品的涌現，許多金融單位和機構投資者的投資組合中包含了大量的衍生工具，這種情形往往導致風險資產之間具有高度的相關性，甚至是完全相關性.從而導致方差-協方差矩陣V=0.當資產之間存在相關性時，對在CVaR風險度量下兩基金分離定理的證明，是本文的創新之處.因此本文首先證明了不含無風險資產的均值CVaR模型下的兩基金分離定理，然后討論了投資組合中含有無風險資產情形的兩基金分離定理；最后在方差協方差矩陣為奇異條件下，分析并證明了兩基金分離定理的成立，同時得到了一些有用的結論.

本文余下結構安排如下：第二節為條件發風險的定義；第三節證明了風險資產組合下的兩基金分離定理；第四節證明了含有無風險資產下的兩基金分離定理；第五節在資產存在相關性的條件下證明了兩基金分離定理；最后一節是本文的結論.

2 CVaR的定義及一些結果的介紹

定理3當方差-協方差矩陣V奇異時，對于情形1兩基金分離定理成立，對于情形2，風險資產的極大無關組和無風險資產可生成原n個風險資產的組合邊界，兩基金分離定理仍然成立.

5 結 論

鑒于兩基金分離定理對資本資產定價研究的重要意義，本文以一種新型的風險度量CVaR作為度量投資組合的風險，并在該度量下探討兩基金分離定理是否成立.證明了無論投資組合有還是沒有無風險資產，在組合收益率服從正態分布的假設下，兩基金分離定理成立.區別于傳統的方差-協方差矩陣可逆的假設，本文放開這一假設.這是因為市場上風險資產的數量日益繁多，特別是各種衍生金融產品的涌現，許多金融單位和機構投資者的投資組合中包含了大量的衍生工具，這種情形導致資產之間具有一定的相關性，從而使得方差-協方差矩陣V=0.對于探討資產之間具有一定的相關性下的兩基金分離定理更有現實意義.我們發現并證明了兩基金分離定理的成立，同時得到了一些有用的結論.

參考文獻

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