“數上構形”解證不等式“恒成立”題

何勇波

所謂“數上構形”就是根據函數式的特點，賦予這些函數式以幾何意義，構造出對應的圖形，從幾何的角度研究代數問題的一種解題方法.從圖形上可以直觀地看出問題的解，它是一種重要的數形結合的數學思想.而某些形如f（x）<（或>）g（x）的不等式“恒成立”問題，可以通過分別作出f（x）和g（x）的圖像，只需滿足f（x）的圖像在g（x）的圖像的下方（或上方）的條件即可滿足f（x）<（或>）g（x）“恒成立”.下面以近兩年的高考題為例，說明“數上構形”的應用.

例1（2014年高考山東理科卷）已知函數y=f（x）（x∈R），對函數y=g（x）（x∈I），定義g（x）關于f（x）的“對稱函數”為函數y=h（x）（x∈I），y=h（x）滿足：對任意x∈I，兩個點（x，h（x）），（x，g（x））關于點（x，f（x））對稱.若h（x）是g（x）=4-x2關于f（x）=3x+b的“對稱函數”， 且h（x）>g（x）恒成立，則實數b的取值范圍是 .

分析g（x）的圖像表示以原點為圓心，2為半徑的圓在x軸上及其上面的部分.根據題意有：h（x）+4-x22=3x+b，即h（x）=6x+2b-4-x2，要使h（x）>g（x）恒成立，即使6x+2b-4-x2>4-x2，即使3x+b>4-x2成立.因此，要使h（x）>g（x）恒成立，只需滿足f（x）的圖像在g（x）的圖像上方.現

做出f（x）與g（x）的圖像（如圖1），當直線y=3x+b與半圓相離，且b>0時，可滿足h（x）>g（x）恒成立.根據圓心（0，0）到直線y=3x+b的距離大于圓的半徑得|b|9+1>2，解得b>210或b<-210（舍去），所以要使h（x）>g（x）恒成立，則b>210，即實數b的取值范圍是（210，+∞）.

圖1評點本題考查了新定義問題與直線和圓的位置關系的應用.解答本題的難點是通過推理得到不等式3x+b>4-x2恒成立的條件是直線在半圓的上方，并且與半圓相離，此外，本題還隱藏直線的截距b>0這個隱含條件.

因此，根據奇函數的圖象關于原點對稱做出函數f（x）在R上的大致圖象如圖2，f（x-1）的圖象可以看作f（x）的圖像向右平移一個單位長度而得到，要使x∈R，f（x-1）≤f（x），必需滿足平移后f（x-1）圖像左邊的射線完全置于y=f（x）圖象中右邊射線下方時，即只需滿足3a2-（-3a2）≤1，解得

-66≤a≤66.

評點本題考查了函數的圖象與性質、恒成立問題.無論從哪個角度（呈現形式，考查內容，求解方法等）都領略到試題所蘊含的“美”；學生求解須抓住將y=f（x）的圖像向右平移一個單位得到y=f（x-1）的圖象，在嘗試移動的過程中會發現：只有當平移后左邊的射線完全置于y=f（x）圖象中右邊射線下方時，才可能使x∈R，f（x-1）≤f（x）恒成立.

例3（2014年高考北京理科卷）已知函數f（x）=xcosx-sinx，x∈[0，π2].（Ⅰ）求證：f（x）≤0；（Ⅱ）若a

分析將①變形得：ax

評點本題的解法通過構造相應的圖形把不等式“恒成立”問題轉化成求直線的斜率的變化范圍，回避了運用導數，通過分類討論函數的單調性來確定函數的最值問題的復雜的解題過程，運用該解法解題的優點在于形象、直觀地看出問題的解.

例4（2014年陜西高考理科壓軸題）設函數f（x）=ln（1+x），g（x）=xf ′（x），其中f ′（x）是f（x）的導函數.（Ⅰ）令g1（x）=g（x），gn+1（x）=g（gn（x）），n∈N+，求gn（x）的表達式；（Ⅱ）已知f（x）≥ag（x）恒成立，求實數a

的取值范圍.

h（x）是增函數；當x>1-m時，h′（x）<0，此時h（x）是減函數，因此x2=1-m是h（x）的極大值點，也是最大值點，即h（x）≤h（1-m）=0，得ln（x+m）≤x+m-1，ex≥ln（x+m），即f（x）≥0，“=”成立的條件是：x1=x2（此時m=1），且x+1=x+m-1（此時m=2），即m=1且m=2同時成立，矛盾，故f（x）>0.

評點本解法先通過作4個函數的圖象，從圖象上可以看出4個函數的大小關系，知道了這4個函數的大小關系，等于為證題指明道路和方向，然后再通過構造函數，利用導函數判斷函數的單調性和求出極值點，從而證明所構造的2個不等式成立.因此，本題的證題思路概括為“數形結合法探路，構造函數法證題”.

（收稿日期：2014-12-12）