2015年高考數學模擬試題一

張名佳

第Ⅰ卷（選擇題 共60分）

一、選擇題：本大題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.

1.設復數z滿足（1-i）z=2i，則z=（ ）.

A.-1+i B. -1-i

C.1+i D. 1-i

2.已知全集為R，集合A={x|（12）x≤1}，B={x|x2-6x+8≤0}，則A∩CRB=（）.

A.{x|x≤0}

B.{x|2≤x≤4}

C.{x|0≤x<2或x>4}

D.{x|0

3.設某大學的女生體重y（單位：kg）與身高x（單位：cm）具有線性相關關系.根據一組樣本數

據（xi，yi）（i=1，2，3，…，n），用最小二乘法建立的回歸方程為y^=0.85x-85.71，則下列結論中不正確的是（ ）.

A.y與x具有正的線性相關關系

B.回歸直線過樣本的中心（x，y）

C.若該大學某女生身高增加1 cm，則其體重約增加0.85 kg

D.若該大學某女生身高為170 cm，則可斷定其體重必為58.79 kg

4.由曲線y=2-x2和直線y=x圍成的封閉圖形的面積為（ ）.

A.12 B. 3

C.92 D.112

5. 圖1是一個幾何體的三視圖，根據圖中數據，可得該幾何體的表面積是（ ）.

A.9πB.10π

C.11πD.12π

6.已知某流程圖如圖2所示，現分別輸入選項所述的四個函數，則可以輸出的函數是（ ）.

A.f（x）=2x4+3x2

B.f（x）=x3

C.f（x）=x2+1xD.f（x）=x2+1

7.函數y=sinx+tanx+|sinx-tanx|在區間（π2，3π2）內的圖像大致是（ ）.

8.在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，若asinBcosC+csinBcosA=12b，且a>b，則∠B=（ ）.

A.π6 B. π3 C.2π3 D. 5π6

9.已知點A，B，C是直線l上不同的三點，點O不在直線l上，則關于x的方程x2OA+xOB+AC=0的解集為（ ）.

A.{-1-52，-1+52} B. {-1}

C. D.{-1，0}

10.在區間[0，1]上隨機取兩個數m，n，則關于x的一元二次方程x2-nx+m=0有實根的概率為（ ）.

A.78 B. 13 C.12 D. 18

11.若雙曲線x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的一個焦點與拋物線y2=8ax的焦點重合，則該雙曲線的離心率為（ ）.

A.2 B. 3 C.2 D.3

12.已知函數f（x）=-x2+2x，x≤0ln（x+1），x>0，若|f（x）|≥ax，則a的取值范圍是（ ）.

A.（-∞，1] B.[-2，0] C.[-2，1] D. （-∞，0]

第Ⅱ卷（非選擇題 共90分）

本卷包括必考題和選考題兩部分.第13～21題為必考題，每個試題考試都必須作答.第22題～24題為選考題，考生根據要求作答.

二、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.把答案填在題中的橫線上.

13.二項式（x-13x）5的展開式中常數項為 .

14.過點A（4，1）的圓C與直線x-y-1=0相切于點B（2，1），則圓C的方程為.

15.設λ>0，不等式組x≤2λx-y≥0x+2λy≥0所表示的平面區域是W，給出下列三個結論：①當λ=1時，W的面積為3；②λ>0，使W是直角三角形區域；③設點P（x，y），對于P∈W有x+yλ≤4.其中，所有正確結論的序號是 .

16.在平面幾何中有如下結論：若正三角形ABC的內切圓面積為S1，其外接圓面積為S2，則S1S2=14.推廣到空間幾何，可以得到類似結論：若正四面體A-BCD的內切球體積為V1，其外接球體積為V2，則V1V2=.

三、解答題：本大題共6小題，共70分.解答應寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟.

17.（本小題滿分12分）已知等差數列{an}的前n項和為Sn，且a3=5，S6=36.

（1）求數列{an}的通項公式an；

（2）設bn=n·2an+12，求數列{bn}的前n項和Tn.

18.（本小題滿分12分）中華人民共和國《道路交通安全法》中將飲酒后違法駕駛機動車的行為分成兩個檔次：“酒后駕車”和“醉酒駕車”，其檢測標準是駕駛人員血液中的酒精含量Q（簡稱血酒含量，單位是毫克/100毫升），當20≤Q≤80時，為酒后駕車；當Q>80時，為醉酒駕車.某市公安局交通管理部門于2015年1月的某天晚上8點至11點在市區內設點進行一次攔查行動，共依法查出了60名飲酒后違法駕駛機動車者，圖3是根據這60名駕駛員抽血檢測后所得結果畫出的頻率分布直方圖（其中Q≥140的人數計入120≤Q<140人數之內）.

（1）求此次攔查中醉酒駕車的人數；

（2）從違法駕車的60人中按酒后駕車和醉酒駕車利用分層抽樣抽取8人做樣本進行研究，再從抽取的8人中任取3人，求3人中醉酒駕車人數X的分布列和期望.

19.（本小題滿分12分）如圖4，四棱錐P-ABCD中，四邊形ABCD為矩形，平面PAD⊥平面ABCD.

（1）求證：AB⊥PD；

（2）若∠BPC=90°，PB=2，PC=2，問AB為何值時，四棱錐P-ABCD的體積最大？并求此時平面BPC與平面DPC夾角的余弦值.

20.（本小題滿分12分）在平面直角坐標系xOy中，橢圓C1∶x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點分別為F1，F2，F2也是拋物線C2∶y2=4x的焦點，點M為C1與C2在第一象限的交點，且|MF2|=53.

（1）求C1的方程；

（2）平面上的點N滿足MN=MF1+MF2，直線l∥MN，且與C1交于A、B兩點，若OA·OB=0，求直線l的方程.

21.（本小題滿分12分）已知函數f（x）=ax+a-1x（a∈R）.

（1）若lnx-f（x）≤-1對x∈（0，+∞）恒成立.求實數a的取值范圍；

（2）對任意的n∈N*，證明：n+1

請考生在第22～24三題中任選一題作答，如果多做，則按所做的第一題計分.

22.（本小題滿分10分）選修4-1：幾何證明選講

如圖5，在△ABC中，AB=AC，D是△ABC外接圓劣

弧AC上的點（不與點A，C重合），延長BD至E.

（1）求證：AD的延長線平分∠CDE；

（2）若∠BAC=30°， △ABC的底邊BC上的高為2+3，求△ABC外接圓的面積.

23.（本小題滿分10分）選修4-4：坐標系與參數方程

在直角坐標系xOy中，直線l的參數方程為x=2+22ty=1+22t（t為參數），在極坐標系（與直角坐標系xOy取相同的長度單位，且以原點O為極點，以x軸正半軸為極軸）中，曲線C的方程為ρ2=

123cos2θ+4sin2θ.

（1）求曲線C的直角坐標方程；

（2）設曲線C與直線l交于A，B兩點，若點P的坐標為（2，1），求|PA|+|PB|.

24.（本小題滿分10分）選修4-5：不等式選講

已知關于x的不等式|x+a2|+|x+2a-5|<5.

（1）當a=1時，求不等式的解集；

（2）若不等式有實數解，求實數a的取值范圍.

參考答案

一、ACDCDCAACDCB

二、13.-10 14.（x-3）2+y2=2

15.①③16.127

三、

17.解設等差數列{an}的公差為d，由題意得a3=a1+2d=5S6=6a1+15d=36，解得a1=1d=2，

所以an=2n-1.

（2）由（1）知bn=n·2n，

所以Tn=b1+b2+…+bn=1×2+2×22+…+（n-1）×2n-1+n×2n

2Tn=1×22+2×23+…+（n-1）×2n+n×2n+1

上述兩式相減得Tn=-2-22-23-…-2n+n×2n+1=-2-2n+11-2+n×2n+1=2+（n-1）×2n+1.

18.解（1）由已知得，（0.0032+0.0043+0.0050）×20=0.25，0.25×60=15，所以此次攔查中醉酒駕車的人數為15.

（2）易知利用分層抽樣抽取的8人中，醉酒駕車者為2人，所以X的所有可能取值為0，1，2.

P（X=0）=C36C38=514，P（X=1）=C26C12C38=1528， P（X=2）=C16C22C38=328.

所以X的分布列為

X012

P5141528328

EX=0×514+1×1528+2×328=34.

19.解（1）證明：因為四邊形ABCD為矩形，故AB⊥AD.

又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD=AD，

所以AB⊥平面PAD，故AB⊥PD.

（2）過P做AD的垂線，垂足為O，過O做BC的垂線，垂足為G，連接PG.

故PO⊥平面ABCD，BC⊥平面POG，BC⊥PG.

在Rt△BPC中，PG=233，GC=263，BG=63.

設AB=m，則OP=PG2-OG2=43-m2，故四棱錐P-ABCD的體積為V=13×6×m×43-m2=m38-6m2.

因為m8-6m2=8m2-6m4=-6（m2-23）2+83，

故當m=63，即AB=63時，四棱錐P-ABCD的體積最大.

此時，建立如圖6所示的坐標系，各點的坐標分別為O（0，0，0），B（63，-63，0），C（63，263，0），D（0，263，0），P（0，0，63）.

故PC=（63，263，-63），BC=（0，6，0），CD=（-63，0，0）.

設平面BPC的法向量n1=（x，y，1），則由n1⊥PC，n1⊥BC得

63x+263y-63=06y=0，

解得x=1，y=0，n1=（1，0，1）.

同理可求出平面DPC的法向量n2=（0，12，1）.

從而平面BPC與平面DPC夾角θ的余弦值為

cosθ=|n1·n2||n1||n2|=12·14+1

=105.

20.解（1）由C2：y2=4x知F2（1，0），

設M（x1，y1），因為M在C2上且|MF2|=

53，所以x1+1=53，得x1=23，y1=263.

又M在C1上，且橢圓C1的半焦距c=1，得49a2+83b2=1b2=a2-1，消去b2并整理得9a4-37a2+4=0.解得a=2（a=13不合題意，舍去），

故橢圓C1的方程為x24+y23=1.

（2）由MN=MF1+MF2知四邊形MF1NF2是平行四邊形，其中心為坐標原點O.

因為l∥MN，所以直線l與直線OM的斜率相同，

故直線l的斜率k=26323=6，

設l的方程為y=6（x-m）.

由3x2+4y2=12y=6（x-m）消去y并化簡得9x2-16mx+8m2-4=0.

設A（x1，y1），B（x2，y2），由根與系數關系得x1+x2=16m9，x1x2=8m2-49.

因為OA⊥OB，所以x1x2+y1y2=0，即x1x2+y1y2=x1x2+6（x1-m）（x2-m）=7x1x2-6m（x1+x2）+6m2=7·8m2-49-6m·16m9+6m2=19（14m2-28）=0，所以m=±2.此時Δ=（-16m）2-4×9（8m2-4）=80>0，

故所求直線l的方程為y=6x-23或y=6x+23.

21.解（1）令g（x）=lnx-f（x），則g（x）=lnx-（ax+a-1x）≤-1恒成立，即g（x）max≤-1.

由g（x）≤-1恒成立可得g（1）≤-1，即g（1）+1=-a-a+1+1≤0，于是a≥1.

而當a≥1時，g′（x）=-（ax+a-1）（x-1）x2=-a[x-（-1+1a）]（x-1）x2，

由g′（x）=0得x=1，x=-1+1a.

因為x=-1+1a≤0，所以當x∈（0，1）時，g′（x）>0，g（x）在（0，1）上單調遞增，當x∈（1，

+∞）時，g′（x）<0，g（x）在（1，+∞）上單調遞減，故g（x）max=g（1）=1-2a≤-1，符合題意，即g（x）≤-1恒成立.所以實數a的取值范圍為[1，+∞）.

（2）由（1）知，當a=1時，有lnx≤x-1，x>0.于是有ln（1+x）≤x，x>-1.

則當x>0時，有1xln（1+x）<1ln（1+x）1x<1（1+x）1x

在上式中，用1，12，13，…，1n（n∈N*）代換x，可得2

22.（1）證明：

如圖7，設F為AD延長線上一點.

∵A、B、C、D四點共圓

∴∠CDF=∠ABC

又因為AB=AC，∠ABC=∠ACB，且∠ADB=∠ACB，∴∠ADB=∠CDF，

又因為∠EDF=∠ADB，故∠EDF=∠CDF，即AD的延長線平分∠CDE.

（2）設O為△ABC外接圓圓心，連接并延長AO交BC于H，則AH⊥BC.

連接OC，由題意∠OAC=∠OCA=15°，∠ACB=75°，所以∠OCH=60°.

設圓的半徑為r，則r+32r=2+3，得r=2，

所以△ABC的外接圓的面積為4π.

23.解（1） 由ρ2=123cos2θ+4sin2θ，得3x2+4y2=12，即x24+y23=1.

（2）將l的參數方程代入曲線C的直角坐標方程，得

3（2+22t）2+4（1+22t）2=12，即

72t2+102t+4=0

，由于Δ=（102）2-4×72×4=144>0，故設t1，t2是上述方程的兩實根，所以

t1+t2=-2027t1t2=87，又直線l過點P，故由上式及t的幾何意義得：|PA|+|PB|=|t1|+|t2|=-（t1+t2）=2027.

24.解（1）因為a=1，所以|x+1|+|x-3|<5.

①當x≥3時，2x-2<5，解得x<72，所以3≤x<72；

②當-1

③當x≤-1時，-2x+2<5，x>-32，所以-32

綜上，不等式的解集為{x|-32

（2）因為|x+a2|+|x+2a-5|≥|x+a2-x-2a+5|=a2-2a+5，

所以a2-2a+5<5，解得0

（收稿日期：2014-12-10）