多角度解析一道高考填空題

蔡勇全

一、試題再現

已知實數a，b，c滿足a+b+c=0，a2+b2+c2=1，則a的最大值為 .

該題是2014年高考浙江卷文科第16題，屬于多參數最值問題，本文入口較寬，但有一定的技巧性和綜合性，本文嘗試從多個角度解析此題，供大家參考.

二、多角度解析

解法一構造函數

由a+b+c=0移項得b+c=-a. ①

將條件a2+b2+c2=1配方得a2+（b+c）2-2bc=1，將①代入此式，得

bc=a2-12. ②

由①、②兩式可知b、c是一元二次方程x2+ax+a2-12=0的兩個實數根，因此有Δ=a2-4（a2-12）≥0，即a2≤23，解得-63≤a≤63，所以a的最大值為63，故應填63.

解法二換元引參

由條件a+b+c=0易得c=-（a+b），將其代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12，配方得（a2+b）2+（32a）2=12，令a2

+b=22cosβ32a=

22sinβ，

其中β∈R，則a=63sinβ∈[-63，63]，所以a的最大值為63，故應填63.

解法三不等式法

由條件a+b+c=0易得c=-（a+b），將其代入a2+b2+c2=1得a2-12=-b（b+a）≤[-b+（a+b）]24=a24，即a2≤23，解得-63≤a≤63，因此a的最大值為63，故應填63.

解法四配方放縮

由條件a+b+c=0易得c=-（a+b），將其代入a2+b2+c2=1得a2+b2+ab=12，配方得（a2+b）2+

34a2=12

，利用放縮思想可知，34a2≤12，即a2≤23，解得-63≤a≤63，因此a的最大值為63，故應填63.

三、后記

在高三復習教學中，同學們練習一定量的題目是必要的，也是必須的，但我們應堅決拋棄題海戰術，多練一些有價值的題目，什么樣的題目才是有價值的題目呢？歷年的高考試題無疑給我們提供了極好的選擇，高考試題是眾多專家、學者的心血與智慧的結晶，它不僅蘊含了大量高考命題改革的前沿信息，而且是支撐我們高三復習的最寶貴的知識財富.同時，練題要不在多，而要在精，像上述的高考試題，我們要充分挖掘其潛在的復習價值，通過一題多解、一題多變，甚至多題一解等專項練習，逐步使我們的復習效益最大化.

（收稿日期：2014-10-15）