高中數學求曲線方程新授課的一點想法

宋少奎

關鍵詞：高效；地理課堂；教學質量

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-107-02

在講授如何求曲線的方程時我選了這樣一道例題：

例：已知平面上的線段BC的長為 ，動點A位于線段BC所在直線的同一側，且向線段BC所張的角恒為 ，動點A的軌跡是否有有限長度？若有，你能求出其長度嗎？

課堂實錄：

經過思考以后，同學甲：我想到了是跟圓有關的問題，求出的應該是圓的一段弧長，他說我們可以這樣設想，當點A向線段BC所張的角是 ，則點A在以BC為直徑的圓上，但現在點向線段BC所張的角恒為 ，則點A所對的弦BC不是直徑，如圖，可知點A的軌跡是以2為半徑的圓周的 ，點A的軌跡有限長度是 。

同學乙：我有不同的想法，在ΔABC中用正弦定理， = ， ，說明ΔABC的外接圓的半徑是2，即可計算得出。

教師提示：剛才兩位同學思考的都很好，它們都是從純幾何的角度思考，我們前面學習了直線和圓，知道可以通過方程研究直線和曲線，我們能否求出點A的方程，然后通過方程研究呢？這就是我們解析幾何的核心，坐標法。

同學丙：以BC所在直線為 軸，BC的中垂線為 軸，建立平面直角坐標系，設A（ ），其中 ，B（ ），C（ ），找出動點A所滿足的等量關系，在ΔABC中用正弦定理， ，但是化簡的時候很復雜，不知怎樣解決。這時教師提示，我們能否這樣想， 不直接代入坐標，而是整體處理，以避免繁瑣的根號，那 與哪些量有聯系呢？同學們陷入了沉思，這時同學丁打破了沉默，可以想到向量數量積， ，又 ， 代入上式得到一個恒等式，無法求出點A的方程，這時教師要引導學生不要慌張，碰壁的過程是正常的，關鍵是如何尋求新的思路。同學們再次陷入沉思。教師提示： 除了與向量數量積以外，還與哪些量有關呢？同學丁：老師我想到了，還與三角形的面積有關， ，代入可得點A的軌跡方程是 。若點A在 軸的下方，則點A的軌跡方程是 。它們所表示的弧長都是圓的周長 。這時有個平時喜歡動腦的同學舉手發言：老師，這道題我還有一種全新的解法，至此，整節課被推向高潮。是這樣的， ∠ ∠ = ， ， ， ，化簡得： 。

至此，我們比較了兩種不同的方法，第一種用幾何法求解很簡潔，第二種用代數的方法求解，過程明了，稍顯復雜。后記：這是解析幾何中求軌跡方程的第一節課，沒有直接采用課本的例題。有三個用意。第一，對于幾何問題同學們最直接的想法，應該是用幾何的思維解決幾何問題，這跟他們的學情有關，也就是說同學們對于采用純幾何方法還是坐標法，應該有個選擇的博弈的過程，通過選擇比較，才會有更深刻的認識，而不是一上來就直接教他們建系求方程，實際上，比較以后，同學們有兩個體會，以后碰到類似問題，他們會想到純幾何法，而且純幾何法有時候比坐標法來的快，做的容易。比如本題就是如此。如果純幾何法不能解決的時候可以采用坐標法。這樣同學們的思維就打開了。第二，一旦采用坐標法，對于建系的選擇應該也讓學生有個心理博弈的過程，本題可能有學生不是采取這樣的建系方法，讓他們求出方程，跟本題的建系方法做個比較。指出我們建系的優劣取決于求出的方程是否簡潔。以便以后碰到類似題目有個選擇的過程。第三：坐標法五步中著重在第二步做文章，就是尋求動點所滿足的等量關系，本題中的幾種想法都是同學們想出來的，經過同學們的展示，大家對這一步有了更深刻的認識。