二元、三元算術(shù)

程佳

摘 要：算術(shù)—幾何平均值不等式在證明一些復(fù)雜不等式，解決實(shí)際問題，求函數(shù)最值等問題上有著廣泛的應(yīng)用，通過舉例說明了簡單的二元、三元均值不等式的應(yīng)用。

關(guān)鍵詞：平均值不等式；最大（小）值

中圖分類號：G632 文獻(xiàn)標(biāo)識碼：B 文章編號：1002-7661（2015）03-102-02

不等式是研究數(shù)學(xué)問題的一種重要工具和手段，在眾多的不等式中算術(shù)—幾何平均值不等式 （ ）是一個(gè)重要不等式。本文主要討論了平均值不等式二元、三元平均值不等式的應(yīng)用，在每一個(gè)方面又分別列舉了相應(yīng)的典型例題，由此我們可以看出平均值不等式在解題、證明一些復(fù)雜問題過程中的一些巧妙之處，也使解題思路更加開闊，這樣難題也變得簡單了。

1、平均值不等式在證明中的直接應(yīng)用

例1 已知 +，且 ，求證：

證明：

=

10 ﹒10 ﹒10

=1000

1000

=1000

∴ （ 時(shí)，取“=”）

推廣：若 >0 且 ，則

由例1證法可得證

2、平均值不等式在證明中的間接應(yīng)用

試比較 ①

②

這兩個(gè)不等式，將①式兩邊平方即得②式，但對①式， 不能是負(fù)數(shù)，而對于②式 卻可以是任意實(shí)數(shù)，可見將平均值不等式①變形為不等式②的形式后應(yīng)用范圍更為寬廣，而且應(yīng)用更加生動(dòng)靈活。

（1）正用：

例3：設(shè) ，且a+c-2b 0，求證：

證明：依②式：

故原不等式成立

此例，傳統(tǒng)證法是構(gòu)造方程，借助判別式；本文巧用②式，一目了然。

（2）逆用：不等式兩邊取倒數(shù)并改變不等號方向，即

例5：已知 +，求證：

證明：左邊=

>

=

=2

=右邊

注：此處三次連續(xù)逆用②式，由于 三式不可能同時(shí)成立，故只能用“>”，而不能用“ ”

（3）疊用：由對稱性得到n個(gè)相似的式子，不等式兩邊分別相乘。

例6：設(shè) +，求證：

證明：依②式：

即

同理

三式疊（疊乘），開平方得

注：此處可省去 的符號討論

例7：設(shè) +，且 ，求證：

證明：考慮

=

=

即

同理

故得

注：這兩個(gè)例子恰好一正一逆，連續(xù)疊用了②式

（4）配用：在巧用②式時(shí)，往往還可以配用其它不等式。

例8：證明：對任意 有不等式

證明：依②式，并配用 ，其中 ，

得

=

=8

（5）變用：將題設(shè)或結(jié)論通過變形，以適合②式的各種巧用。

例9：已知 為整數(shù)，求證：

證明：

例10：實(shí)數(shù) 滿足 求證：

證法1：令 ，則

依②式知 或

解得 又

于是

利用公式 證明不等式的這個(gè)思路確實(shí)令一大批不等式獲得巧妙，簡潔的證明，且賦予規(guī)律，易于掌握，不容忽視！

通過以上的討論，我們可以看出，在中學(xué)數(shù)學(xué)中，算術(shù)—幾何平均值不等式都有其廣泛的應(yīng)用，不僅在數(shù)學(xué)學(xué)科內(nèi)有著重要的研究價(jià)值，也在實(shí)際生產(chǎn)、生活中有著不可或缺的作用。

參考文獻(xiàn)：

[1] 呂志新 孫建斌.巧用 證明不等式.中學(xué)數(shù)學(xué)，2002：6.

[2] 王池富 例談不等關(guān)系解應(yīng)用題.中學(xué)數(shù)學(xué)，1999：5

[3] 黃言勤 一道不等式的證明及推廣.數(shù)學(xué)通報(bào)，2003：3