一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)

王劍凌 ，陳慶華

（1.福建江夏學(xué)院數(shù)理教研部，福建福州，350108；2.福建師范大學(xué)數(shù)學(xué)與計(jì)算機(jī)科學(xué)學(xué)院，福建福州， 350117）

復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)由節(jié)點(diǎn)和邊組成，節(jié)點(diǎn)代表元素，邊代表元素間的相互作用。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)廣泛應(yīng)用于經(jīng)濟(jì)、工程、生物等社會(huì)的各個(gè)領(lǐng)域，比如，國與國之間的經(jīng)濟(jì)合作關(guān)系可以描述為世界貿(mào)易網(wǎng)，新陳代謝網(wǎng)能量化蛋白質(zhì)之間的相互作用，人與人之間的相互關(guān)系構(gòu)成人際關(guān)系網(wǎng)等。復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)在現(xiàn)實(shí)生活中發(fā)揮著舉足輕重的作用，成為近年來學(xué)者研究的熱點(diǎn)。

實(shí)證表明大多數(shù)實(shí)際網(wǎng)絡(luò)具有一些共同的特征：網(wǎng)絡(luò)規(guī)模龐大且結(jié)構(gòu)復(fù)雜，演化過程具有隨機(jī)性；網(wǎng)絡(luò)是開放的，不斷增加節(jié)點(diǎn)和邊，實(shí)現(xiàn)網(wǎng)絡(luò)增長；任意兩個(gè)節(jié)點(diǎn)之間存在短路徑，平均路徑長度呈對(duì)數(shù)增長，且有明顯的群聚趨勢；網(wǎng)絡(luò)具有冪律尾部，節(jié)點(diǎn)間度相關(guān)，存在極少數(shù)中樞點(diǎn)；隨機(jī)去除有少數(shù)連邊的節(jié)點(diǎn)，不會(huì)改變網(wǎng)絡(luò)的拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)。

在此基礎(chǔ)上，不少學(xué)者對(duì)模型進(jìn)一步改進(jìn)，更接近實(shí)際網(wǎng)絡(luò)，如局部世界網(wǎng)絡(luò)[3]、加權(quán)網(wǎng)絡(luò)[4,5]等模型。Chen等考慮到節(jié)點(diǎn)的初始吸引力、重新布線等因素，對(duì)模型進(jìn)行擴(kuò)展，來研究無標(biāo)度網(wǎng)絡(luò)的生成機(jī)制[6]。Guillaume等提出很多實(shí)際網(wǎng)絡(luò)都可視為二分網(wǎng)絡(luò)，尤其是演員——電影、學(xué)生——課程、科研人員——文章等具有二分圖結(jié)構(gòu)的網(wǎng)絡(luò)[7]。Xu等提出的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)，考慮到科學(xué)家合作關(guān)系不僅局限在同一領(lǐng)域，還有不同領(lǐng)域間的合作[8]。Furuya等根據(jù)醫(yī)學(xué)院提供的處方記錄，提出了DPN網(wǎng)絡(luò)來描述藥物之間的關(guān)系[9]。此外，對(duì)度分布的計(jì)算也有四種常見的方法：平均場方法[10]、率方程方法[11]、主方程方法[12]、馬氏鏈方法[13,14]。本文基于Xu等的社團(tuán)網(wǎng)絡(luò)和Furuya等的DPN網(wǎng)絡(luò)，提出一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)，來描述醫(yī)生與藥物之間的關(guān)系。

一、演化模型

初始時(shí)刻，⊥中有M個(gè)孤立的社團(tuán)，每個(gè)社團(tuán)有n1個(gè)孤立的點(diǎn)， 中有n2個(gè)孤立的點(diǎn)，在⊥與之間有m條邊。

1.以概率p在⊥中隨機(jī)選擇一個(gè)區(qū)域加入新點(diǎn)，新點(diǎn)與 中n0個(gè)點(diǎn)連接的概率為

3.以概率r（=1-p-q）在⊥中隨機(jī)選擇一個(gè)區(qū)域中的一點(diǎn)，此點(diǎn)與中n0個(gè)點(diǎn)連接的概率同（※）

二、主要結(jié)論

定理2.1⊥的外部度分布具有冪律尾部，即

證明：在t時(shí)刻，的點(diǎn)數(shù)為，總點(diǎn)數(shù)為

根據(jù)平均場方法的假設(shè)，點(diǎn)i進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間ti服從[0,t]上的均勻分布，則有

證明：在t時(shí)刻，的點(diǎn)數(shù)為，總點(diǎn)數(shù)為

根據(jù)平均場方法的假設(shè)，點(diǎn)i進(jìn)入系統(tǒng)的時(shí)間服從[0,t]上的均勻分布，則有

本文提出一類具有社團(tuán)性質(zhì)的二分網(wǎng)絡(luò)，含有可調(diào)節(jié)的參數(shù)p,q,r，解析結(jié)果表明⊥和的外部度分布都具有冪律尾部。

[1]Watts D J,Strogatz S H.Collective dynamics of small-world networks[J].Nature,1998,393:440.

[2]Barabási A L,Albert R.Emergence of scaling in random networks[J].Science,1999,286:509-512.

[3]Li X,Chen G R.A local-world evolving network model[J].Physica A,2003,328:274-286.

[4]Yook S H,Jeong H,Barabási A L,Tu Y.Weighted evolving networks[J].Phys.Rev.Lett.,2001,86:5835-5838.

[5]Barrat A,Barthélemy M,Vespignani A.Modeling the evolution of weighted networks[J].Phys.Rev.E,2004,70:066149.

[6]Chen Q H,Shi D H.The modeling of scale free networks[J].Physica A,2004,335:240-248.

[7]Guillaume J L,Latapy M.Bipartite structure of all complex networks[J].Information Processing Letters,2004,90:215-221.

[8]Xu X J,Zhang X,Mendes J F F.Growing community networks with local events[J].Physica A,2009,388:1273-1278.

[9]Furuya S,Yakubo K.Scale-free property of local-world networks and their community structure[J].Physica A,2010,389:5878-5886.

[10]Barabási A L,Albert R,Jeong H.Mean-field theory for scale-free random networks[J].Physica A,1999,272:173-187.

[11]Krapivsky P L,Redner S,Leyvraz F.Connectivity of growing Random networks[J].Phys.Rev.Lett.,2000,85:4629-4632.

[12]Dorogovtsev S N,Mendes J F F,Samukhin A N.Structure of growing networks with preferential linking[J].Phys.Rev.Lett.,2000,85:4633-4636.

[13]Shi D H,Chen Q H.Markov chain-based numerical method for degree distributions of growing networks[J].Physical Review E,2005,71:036140.

[14]Chen Q H,Shi D H,Markov chains theory for scale free networks[J].Physica A,2006,360:121-133.