2微米激光器環形諧振腔的ABCD矩陣分析

喬 亮

（福建江夏學院數理教研部，福建福州， 350108）

2微米(μm)波長的激光具有良好的大氣穿透性，同時又處于人眼安全波段的范圍內，在激光相干探測方面有著廣闊的應用前景。相干多普勒測風雷達需要單頻運轉的高脈沖能量激光光源。[1-3]激光的諧振腔作用之一是提供正反饋，使激活介質中產生的輻射能多次通過介質，當受激輻射所提供的增益超過損耗時在腔內得到放大、建立并維持自激振蕩。而環形諧振腔能夠有效的抑制空間燒孔效應，同時環形腔雙向輸出的特性，便于種子激光從輸出鏡端實現注入，降低對種子激光能量的損耗。[4]本文著重分析環形腔，從理論上計算諧振腔的環繞矩陣，得出環形腔的腔型條件以及光束特性等，確定實驗中所用的諧振腔腔型參數。

一、環形腔的ABCD矩陣理論

圖1 光束經均勻介質和透鏡的傳播

激光器環形諧振腔的穩定性設計可通過計算ABCD傳輸矩陣獲得，下面將計算諧振腔的環繞矩陣。光線在均勻介質空間自由傳播距離L時如圖1(a)，可用二階方陣描述。它的光學變換矩陣為：

光經過薄透鏡如圖1(b)，它的變換矩陣為：

離軸情況下使用的球面反射鏡（或者透鏡）屬于像散元件。在圖2所示的坐標下，在yoz（弧矢面S）和xoz（子午面）平面內具有不同的變換矩陣。可以證明，當入射光束軸線與透鏡的軸線z成α角時，在弧矢面及子午面上透鏡的焦距不再是名義上的焦距，而分別是fS= fsecα及fT=fcosα，其變換矩陣也分別變為相應的焦距，(2)式中i=S,T，分別表示弧矢面和子午面的傳輸矩陣。[5]

選取8字形環形腔為例。這種結構優點在于反射鏡的反射角度可以較小，使得環形腔內子午面和弧矢面的光束分布較一致；可采用兩片曲面鏡和兩片平面鏡對稱的結構，這樣在曲面鏡和平面鏡之間分別存在一個光腰，正好適合放置工作物質和調Q器件。環形腔雙向輸出的特點，便于從其中一個輸出方向上，注入種子激光，實現對激光頻率的控制。穩定的諧振腔損耗較小，并且諧振光束狀態不變。下面將計算諧振腔的環繞矩陣，分析其穩定條件。

如圖3，設兩個透鏡M1、M2之間的臂長為L1，由M1起，依次經過平面鏡M4、M3到M2的臂長為L2，晶體右端面距離M2為L3，晶體長度設為t，折射率為n，晶體左端面距離M1則為L1-L3-t。總腔長為L1+L2。與光軸成較大角度的光線在諧振腔內不作討論，僅分析旁軸光線在腔內的傳播行為。[6]圖4為四鏡環形腔的等效圖。使用分離變量分析法，應用上述的傳輸矩陣，選取在M1-M2臂上與M1距離為z的平面RP為參考面，參考面RP距離晶體左端面距離就為L1-L3-t-z。可得環繞矩陣(3)式：

求得ABCD的表達式，分別為：

考慮到C對應著系統光焦度的負值，它是不隨z變化的常數。A+D反映了諧振腔固有性質，它也不隨z變化。令參考面的移動僅在M1和晶體之間的自由空間時，z變為光腰到M1的距離，光腰處等相位面為平面以及光腰為光斑極小值的數學表達式分別為

上述兩個方程所獲得的解z應該是相等的。因此，將ABCD整理成關于z的一次多項式和二次多項式形式，如下：

對應(4)～ (7)式，得到（9）式中三個系數如下：

根據式 (8)，光腰到鏡M1的距離z為

該光腰的共焦參數Z0為

將（10）式中的結果代入（11） 式，可以得出

代入(12)式，得到共焦參數為

而光腰與共焦參數的關系式如下：

諧振腔穩定條件是光腰平方為非負條件，即共焦參數

（14）式中，t為晶體的長度，受泵浦長度為20mm，n為晶體的折射率，n=1.48。有三種不同焦距f的透鏡供選擇，L2和L1可以變動。

二、環形腔腔型參數分析

（一）穩定性分析

實驗條件中，有三種焦距的透鏡可供使用，表1列舉出對應三種曲率半徑的反射鏡的子午面和弧矢面內的焦距[7]。在這三種曲率半徑條件下，L2取值1500 mm和2200 mm時，L1為變量，分析諧振腔內共焦參數和束腰的分布。

表1 不同曲率半徑對應的子午面和弧矢面內的焦距

當L2=1500mm，L1在[100600]區間時，計算得到的子午面和弧矢面共焦參數和束腰分布見圖5和6。可以看出，當L2=1500mm時，當透鏡的曲率半徑R=4000mm時，L1取值200mm附近，能夠得到腔內較大的束腰半徑；R=4500mm，L1取值[200300]之間，能夠得到腔內較大的束腰半徑，值小于1.01mm；R=5000mm，L1取值[300400]之間，腔內較大的束腰半徑值大于1.02mm。

當L2=2200mm，L1在[100600]區間時，計算得到的子午面和弧矢面共焦參數和束腰分布見圖7和8。可以看出，當R=4000mm, L1處在[400500]之間時，這時候子午面和弧矢面內的束腰半徑能夠比較均衡。與L2=1500mm時相比，腔內的束腰半徑也明顯增大了。

（二）腔型參數的確定

根據以上的分析，下面就腔鏡參數進行分析選擇：選取L2=1500mm，由圖6可知，L1確定的條件下，f越大，腔內束腰越大，由此判斷曲率半徑為5m的曲面鏡有優勢。但是，子午面和弧矢面上束腰差距隨著曲率半徑的增大也更加明顯，這會影響到諧振腔型的對稱性，運行后輸出激光的光束質量也會受到負面影響。如果將L2適當加長，如圖8所示，當L2=2200mm，曲面鏡曲率半徑為4m時，L1取450mm左右時，子午面和弧矢面具有相同的共焦參數，光腰相等（約等于1.166mm）。這將是比較適宜的腔型條件。

三、實驗中采用的腔型參數

在實驗中，兼顧機械結構等條件，選取L2=2225mm，曲面鏡子午面和弧矢面內的焦距分別為1969.62mm和2030.85mm。計算得到曲面鏡之間的束腰ω0T=1.20003 mm，ω0S=1.19977 mm，瑞利長度ZRT=2203.66mm，ZRS=2202.71mm，在腰斑距離M1為221.757mm時，計算得到的M1鏡處光斑等參數可參見表2，發散角2θT=1.19797mrad，2θS=1.19782 mrad，基本一致。

表2 L1=2225mm腔內器件光束分布

四、小結

根據相干探測對光源的要求，提出了環形腔的諧振腔結構，有助于抑制空間燒孔效應，便于實現種子注入；四鏡8字環形諧振腔，可以使得反射鏡的角度較小，并且實現兩個曲面鏡和兩個平面鏡之間各存在一個束腰的結構，便于插入激光增益介質和調Q等器件。利用ABCD傳輸矩陣，分析了當L2=1500mm和2200mm時兩種腔長結構下的腔型情況。確定了L1=450mm，L2=2225mm，曲面鏡曲率半徑為4m的腔型參數，并計算得到了腔內光束特性，為實驗系統的搭建提供了理論依據。

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