橋梁結構工作模態分析的不確定度量化

秦世強，勾紅葉，賈宏宇，蒲黔輝

(1.武漢理工大學 道路橋梁與結構工程湖北省重點實驗室，武漢 400370;2.西南交通大學 土木工程學院，成都 610031;3.西南交通大學 土木工程系，四川 峨眉，614202)

模態參數是最基本的結構動力參數，利用模態參數可以進行結構響應分析、載荷識別、有限元模型修正、損傷識別和結構健康狀態評估，因此模態參數識別是結構動力學中一個重要議題。近年來，以環境激勵試驗為基礎的大型土木工程結構工作模態分析得到了廣泛的研究，形成了一系列研究成果［1－6］。目前，工作模態分析可以分為頻域法、時域法和時頻分析法三大類［7－8］。隨機子空間識別是一種典型的時域模態參數識別方法，識別過程中引入了奇異值分解、卡爾曼濾波等數學工具，理論體系完備，適于計算機程序實現。關于隨機子空間識別在土木工程結構模態分析中應用已經有許多成果，如西寧北川河橋［9］、Z24 橋［10］、虎門大橋［11］、Humber橋［12］等。然而，關于隨機子空間識別的模態參數的可信程度卻沒有一個系統的評價方法;大型土木結構環境振動試驗通常為設置多個測試組，每個測試組測試過程中的環境激勵水平不同，因此由每個測試組數據識別的結構的模態參數大小不盡相同，如何評價每個測試組識別的模態參數的可信程度以及如何由多個測試組的數據確定最終的結構模態參數，是目前需要解決的關鍵問題之一。國內外的學者已經意識到該問題的重要性并展開了相關研究，文獻［13］利用誤差預測法對滑動平均自回歸(ARMA)識別的模態參數不確定度進行了估計;文獻［14］對識別的模態參數的上下限范圍進行了估計，并通過蒙特卡洛數值模擬進行了驗證;文獻［15－16］則通過系統矩陣一階擾動分析方法量化了SSI-cov方法識別的模態參數不確定度，并給出了具體的公式推導過程;文獻［17］對目前幾種估計模態參數不確定度的方法進行了總結，并指出了存在的問題。從這些文獻的參考文獻中也可以看出量化試驗模態參數不確定度的重要性。

橋梁工程環境振動測試通常需要分多個測試組完成，目前對試驗模態參數的不確定度估計大多集中在各種算法對單個測試組識別的模態參數不確定估計上，而沒有統籌考慮多個測試組的整體評價。為此，本文首先以多個測試組識別的模態參數為樣本，構造模態參數的整體置信區間;其次，引入基于系統矩陣敏感性分析的單個測試組不確定量化方法，并形成帶置信區間的穩定圖，從而實現對多測試組的橋梁工作模態分析可信程度由整體到局部的立體評價。以菜園壩長江大橋拱肋測試結果為例，驗證了本文所提方法的實用性。

1 隨機子空間識別

隨機子空間識別(SSI)是一種時域模態參數識別方法，假定外部激勵為白噪聲，測試得到結構響應數據，利用隨機狀態空間模型求解結構模態參數。結構隨機狀態空間模型［17］可以表示為:式中:xk和yk分別為離散狀態向量和輸出向量，下標k為離散時間點，取為正整數;A、C分別為為系統狀態矩陣和輸出矩陣;wk、vk分別表示環境激勵與模型誤差、傳感器誤差之和，假定為互不相關且均值為零的白噪聲。SSI的主要目標就是求解系統矩陣A和C，在求得系統矩陣后，求解結構模態參數的問題轉化為求解特征值問題。目前求解系統矩陣有兩種方法［19］，一種直接從時域響應數據出發，另一種從時域響應數據的協方差出發，分別對應數據驅動的SSI(SSI-data)和協方差驅動的SSI(SSI-cov)。由于SSI已經比較成熟，這里僅以SSI-cov為例簡要說明其模態參數識別的流程。首先利用測試得到的響應計算輸出協方差矩陣Λi:

式中:E表示數學期望;利用輸出協方差構建Toeplitz矩陣T1|i，并對其進行如下分解:

上述分解只是對T1|i分解方式的一種，再對其進行奇異值分解，并對比式(3)，即可求解出狀態矩陣A和輸出矩陣C;通過對狀態矩陣A進行特征值分解得到:

模態頻率fk、阻尼比ξk以及振型φk分別為:

2 總體置信區間

由于傳感器數量有限，土木結構環境振動試驗通常分為多個測試組實現;每個測試組包含參考點和移動點，參考點連續測試，而移動點僅在相應的測試組進行測試。因此，會產生多個測試組數據;在進行模態參數識別時，利用SSI-cov可以分析每個測試組的數據，進而得到多組模態頻率和阻尼比。為了衡量多個測試組識別的模態參數的整體大小和離散程度，引入數學期望和標準差。假設總計有m個測試組，由m個測試組識別的模態參數構成總體樣本，結構第r階固有頻率fr、阻尼比 ξr的數學期望和標準差分別為 E(fr)和σ(fr)、E(ξr)和 σ(ξr);該階頻率和阻尼比在 95%保證率下的總體置信區間分別為(E(fr)±2σ(fr))和(E(ξr)±2σ(ξr));如果置信區間越大，則表明由多個測試組數據確定的模態參數不確定度越高;反之，置信區間越小，表明識別的模態參數越精確。對于未落入置信區間的模態參數，可以認為其不可信。具體分析造成其不可信的原因包括:該階模態在環境荷載下未被激勵起、傳感器誤差等。

由于環境荷載的隨機性，各測試組下橋梁結構被激勵程度難以做到完全相同，但是可以近似假定各組數據識別的模態參數滿足正態分布，即由多個測試組的識別的第r階固有頻率和阻尼比應滿足正態分布，每個樣本構成的經驗累積分布函數(Empirical CDF)和正態分布的累積分布函數(Normal CDF)之間應良好的吻合，即有:

式中:Fm(f)表示 Empirical CDF，而 F(f;E(fr)，σ(fr))表示Normal CDF;NUM表示括號內事件發生的次數;“～”表示相似。

3 基于敏感性分析的不確定度估計

在利用SSI-cov識別系統矩陣A、C過程中，由于一些因素影響，導致系統矩陣的真實值難以識別，識別只是真實值的估計A^、C^。這些影響因素包括:① 假定環境激勵為白噪聲所帶來的誤差;② 對實際上是連續狀態的結構離散化成隨機狀態模型所造成的誤差;③ 求解過程的計算誤差;④ 對時域系統階次的過高或者過低的估計。進一步通過輸出協方差的表達式來說明系統矩陣難以真實估計，式(2)給出的輸出協方差Λi的表達式，將其寫作求和形式為:

式中，N為采樣數;式(7)說明只有在采樣數逼近無窮大時，輸出協方差才能無限接近其真實值;然而，在實際工程測試過程中，采樣數不可能為無窮大，只有用一個相對較大的值來求解輸出協方差的估計值

由SSI-cov的理論可知，系統狀態矩陣A和輸出矩陣C可以表示為可觀矩陣Oi的表達式，因此要求解系統矩陣的不確定度，首先要求可觀矩陣Oi受外界擾動后的不確定度。可觀矩陣的一階擾動ΔOi可表示為:

式中:U、S分別為Toeplitz矩陣奇異值分解后的正交矩陣和對角矩陣;ΔU、ΔS分別表示受外界誤差影響后的正交矩陣和對角矩陣的一階擾動。此時，問題轉化為如何估計ΔU和ΔS。需要指出的是，這里忽略了可觀矩陣二階及其以上的高階擾動。狀態矩陣A的一階擾動可以表達為:

文獻［15］在分析系統矩陣對可觀矩陣一階擾動的敏感性基礎上，推導了系統矩陣的一階擾動，并分析出因外界擾動引起的試驗模態參數的方差。由于整個分析過程考慮了模型誤差及測試誤差，且識別時所用的是單個測試組的時域響應數據;因此分析得到的模態參數的方差能夠表征單個測試組數據識別的模態參數的不確定度。

4 工程實例

以菜園壩長江大橋拱肋環境振動測試為例，來說明衡量SSI-cov識別的模態參數的不確定度的方法。菜園壩長江大橋(圖1)為公軌兩用橋，主橋為鋼桁梁、鋼箱系桿拱組合結構;主跨為420 m的提籃拱。拱肋的環境振動測試為全橋靜動力荷載試驗的一部分。下游側拱肋的環境振動試驗測點布置如圖2所示，共布置19個測點，均位于吊桿頂部;其中，測點15為參考點，連續測試。每個測試組由一個移動點和參考點組成，測試橋梁在環境隨機荷載作用下的加速度響應，總計19個測試組。信號采集由INTCH動態信號采集儀完成，采樣頻率為20 Hz，采樣時間為3～5 min不等。

圖1 菜園壩長江大橋Fig.1 Caiyuanba yangtze river bridge

圖2 下游側拱肋測點布置Fig.2 Configuration of measuring points on the downstream arch rib

利用每個測試組的加速度響應的協方差構建Toeplitz矩陣，并利用SSI-cov識別其模態參數。圖3為利用測試組15數據所得到的穩定圖。需要指出的是，由于參考點進行連續測試，采樣數較大，從式(7)可以看出，當采樣數逼近無窮時，輸出協方差逼近其真實值，因此由參考點構建的輸出協方差更為精確，識別的穩定圖也更為清晰，離散點較少。對每個測試組得到的穩定圖拾取穩定軸，獲取拱肋的模態參數，并按照文中介紹的方法計算19個測試組識別的頻率和阻尼比的數學期望及標準差，結果如表1所示;限于測試時間較短，并未識別出振型，因此論文以量化頻率和阻尼比的不確定度來進行問題的說明。從表中可以看到，拱肋前8階固有頻率的標準差較小，表明由19個測試組識別出的頻率整體上較穩定，精確度較高;而阻尼比的標準差較大，表明阻尼比的不確定度高，反映了目前對結構阻尼比計算假設仍需改進。以19個測試組識別得到的第三階固有頻率作為樣本，利用這19個樣本分別構造經驗累積分布函數和正態累積分布函數，如圖4所示;從圖中可以看到，Empirical CDF和Normal CDF之間吻合良好，表明由19個測試組得到的第三階固有頻率基本符合正態分布，這也反映了各組測試組在環境隨機荷載下的拱肋的被激勵程度相當。

圖3 測試組15的穩定圖Fig.3 Stabilization diagram of setup 15

圖4 第三階固有頻率的累積分布函數Fig.4 Cumulative distribution function of the 3rd natural frequency

表1 拱肋的前8階模態參數的數學期望及標準差Tab.1 Expectation and standard deviation of first 8 modal parameters of the arch

圖5 測試組15帶置信區間的穩定圖Fig.5 Stabilization diagram with confidence intervals of setup 15

為了衡量單個測試組識別的模態參數的不確定度，利用文中介紹的基于可觀矩陣的敏感性分析計算識別的模態參數的方差;仍以測試組15為例，將計算出的頻率的方差繪制在穩定圖上，構造如圖5所示的帶置信區間的穩定圖。限于量化單個測試組識別的頻率的不確定度的計算量較大的原因，這里的穩定圖系統階次上限取為40。這也導致與圖3比較，穩定軸略有差異。但不影響量化單個測試組識別的頻率不確定度作用說明。從圖5可以得出:① 用誤差圖表示的置信區間直觀的顯示了各穩定點的可信程度，在穩定軸清晰的穩定點上，置信區間較小，可信程度高;在離散穩定點處，置信區間較大，可信程度低;② 量化的單個測試組的不確定度可以用作剔除穩定圖虛假模態的一個指標，即設定不確定度的大小，以刪除不可信的離散穩定點，提高人工拾取穩定軸的效率。

5 結論

通過構建試驗模態參數整體置信區間以及量化單個測試組識別的模態參數不確定度，形成了對多測試組試驗識別的模態參數可信程度從整體到局部的評價;并將不確定度量化的結果用于穩定圖中，構造了帶置信區間的穩定圖，有效地協助人工拾取結構真實模態;進一步利用菜園壩橋拱肋試驗數據驗證了論文的研究;可以得到如下結論:

(1)多個測試組數據識別的頻率和阻尼比的數學期望和標準差能夠反映其整體大小和離散程度;構建95%保證率下的總體置信區間能夠反映識別的模態參數整體上的不確定度:即置信區間越小，不確定度越低，模態參數越精確;

(2)利用基于可觀矩陣敏感性分析計算得到模態參數的方差，能夠反映單個測試組數據識別的模態參數的不確定度:標準差越小，表明識別的模態參數不確定度越低，可信程度高;

(3)構造的帶置信區間的穩定圖有助于剔除虛假模態，協助人工拾取結構真實模態。

［1］Peeters B，Ventrura C E.Comparative study of modal analysis techniques for bridge dynamic characteristics［J］.Mechanical System and Signal Processing，2003，17(5):965 －988.

［2］單德山，徐敏.數據驅動隨機子空間算法的橋梁運營模態分析［J］.橋梁建設，2011，06:16－21.SHAN De-shan，XU Min.Operational modal analysis of bridge structure based on data-driven stochastic subspace identification algorithm ［J］.Bridge Construction，2011，6:16－21.

［3］Chen W，Lu Z，Lin W，et al.Theoretical and experimental modal analysis of Guangzhou New TV Tower［J］.Engineering Structures，2011，33(12):3628 －3646.

［4］Magalhaes F，Cunha A.Explaining operational modal analysis with data from an arch bridge［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(5):1431 －1450.

［5］Lardies J，Minhhgi T.Modal parameter identification of stay cables from output-only measurements［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2011，25(1):133 －150.

［6］Ren W，Peng X，Lin Y.Experimental and analytical studies on dynamic characteristics of a large span cable-stayed bridge［J］.Engineering Structures，2005，27(4):535 －548.

［7］續秀忠，華宏星，陳兆能.基于環境激勵的模態參數辨識綜述［J］.振動與沖擊，2002，21(3):1 －5.XU Xiu-zhong，HUA Hong-xing，CHEN Zhao-neng.Review of modal parameter identification method based on ambient excitation ［J］.Journal of Vibration and Shock，2002，21(3):1－5.

［8］秦世強，蒲黔輝，施洲.環境激勵下大型橋梁模態參數識別的一種方法［J］.振動與沖擊，2012，31(2):95 －100.QIN Shi-qiang，PU Qian-hui，SHI Zhou.A method of modal parameters identification using ambient vibration measurements for a large-scale bridge［J］.Journal of Vibration and Shock，2012，31(2):95 －100.

［9］宗周紅，BIJAYA.J，林友勤，等.西寧北川河鋼管混凝土拱橋的理論和實驗模態分析［J］.鐵道學報，2003，25(4):89－96.ZONG Zhou-hong，BIJAYA.J， LIN You-qin， et al.Experimental and analytical modal analysis of a CFT arch bridge over Xining Beichuan River［J］.Journal of the China Railway Society，2003，25(4):89 －96.

［10］Mevel L，Goursat M，Basseville M.Stochastic subspace-based structural identification and damage detection and localisationapplication to the Z24 bridge benchmark［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2003，17(1):143 －151.

［11］徐良，江見鯨，過靜珺.隨機子空間識別在懸索橋實驗模態分析中的應用［J］.工程力學，2002，19(4):46 －49.XU liang，JIANG Jian-jing，GUO jing-jun.Application of stochastic subspace method to experimental modal analysis of suspension bridge［J］.Engineering Mechanics，2002，19(4):46－49.

［12］Brownjohn B，Magalhaes F，Caetano E，et al. Ambient vibration re-testing and operational modal analysis of the Humber Bridge ［J］.Engineering Structures，2010，32(8):2003－2018.

［13］Andersen P. Estimation of modal parameters and their uncertainties［R］. Dept. of Building Technology and Structural Engineering，Aalborg University，1998.

［14］Sim J，Qiu Z，Wang X.Modal analysis of structures with uncertain-but-bounded parameters via interval analysis［J］.Journal of Sound and Vibration.2007，303(1－2):29－45.

［15］Reynders E，Deroeck G.Uncertainty bounds on modal parameters obtained from stochastic subspace identification［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2008，22(4):948－946.

［16］Pintelon R， Guillaume P， Schoukens J. Uncertainty calculation in(operational)modal analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，2007，21(6):2359 －2373.

［17］Carden E P，Mita A.Challenges in developing confidence intervals on modal parameters estimated for large civil infrastructure with stochastic subspace identification［J］.Structural Control and Health Monitoring，2011，18(1):53－78.

［18］Van Overschee P，De Moor B.Subspace identification for linear systems:theory implementation applications［M］.Dordrecht，The Netherlands:Kluwer Academic Publishers，1996:57－91.

［19］Peeters B，Deroeck G.Reference-based stochastic subspace identification for out-put only modal analysis［J］.Mechanical Systems and Signal Processing，1999，13(6):855－878.