放回還是不放回

陳志偉

“這樣做不公平！應該你抽完再放回去，讓我抽.否則，我不抽.”還沒有走進教室，就能聽到班長瑤瑤在吼.怎么回事？帶著疑問，陳老師進了班級，看到班長、數學科代表和團支部書記正圍在講臺上抽簽.

班長看到陳老師進來就帶著委屈告之事情的緣由，原來他們在用抽簽的方法決定誰做這次班會課的主持人.

瑤瑤說：“不讓我做主持人可以，但不要用這樣的方法來欺負我.”

陳老師說：“你們是怎么抽的啊？”

瑤瑤說：“數學科代表制作了3個標簽，其中一個上面寫著主持人，每人抽一個，他先抽，團支部書記和我順著來，誰抽到就誰當.”

陳老師問：“你覺得不公平，那么你認為應該如何抽？”

“我覺得應該他抽完，放回去.我們再接著抽，這樣才公平.”

“同學們，現在班委遇到了問題，我們大家一起來看看，能不能幫助他們.”陳老師終于明白了他們爭吵的原因.

同學們經過一段時間的思考，也分成了兩派，一派支持數學科代表，一派支持班長瑤瑤.陳老師也看出了他們對這個問題的認識程度.支持的和不支持的都不能說服對方.

“好，我們前面學習了古典概型和幾何概型，現在他們遇到的問題在于抽到的簽是否放回以及抽簽的順序.是否放回影響不影響概率？如果影響，應該選擇哪種方式公平？我們就結合前面所學習的概率內容進行探討.在講解之前，我們還是按照他們雙方的方式，去做一次，看看最終的結果分別怎樣？”

于是，大家就分組進行實驗，結果很快出來了.不放回的組：有的第一個人抽到了，后面的人就不抽了；有的第二個人抽到的；有的第三個人抽到的.放回的組：有的只有一個人抽到了；有的有兩個人都抽到了；有的三人都抽到了.這下大家都犯難了，他們是明顯感受到了放回的有問題，但他們解釋不了原因.

陳老師讓同學們把兩種問題的所有事件都用表格列出來.

從表一中，可以看出明顯錯誤，因為只有一個人來做主持人，而上面的結果可能出現多個人做主持人的情況，不能解決問題.

從表二中，可以看出，這是可行的，每個人抽到的概率都是相等的，每個人抽中的概率都是

，每個人抽中與抽取的順序沒有關系，當3人抽取結束后，僅有一人抽中.

瑤瑤不服氣說：“我看出放回是有問題的了，但是要是按照不放回抽簽的話，第一個人抽到了，那么后面的兩個人不用抽都知道不可能抽中了，那對后面的人不是不公平嗎？那不是說誰先抽，就占便宜了嗎？”

數學科代表說：“要是第一個人沒有抽中，那第二個人抽不是概率變成

了嗎？要是第一個人和第二個人都沒有抽中，第三人抽的概率不是1了嗎？不是先抽就高，最后一個人抽才高呢！”

陳老師笑著說：“從你們的分析看，你們目前還不能理解抽取沒有順序之分.你們覺得是否抽中，要看前面的人是否抽中，這就對了.實際上，不放回抽簽，不能單單看某個個人在抽取時的抽中概率，而要看你在抽取過程中，整個事件的發生的概率.如果孤立地看待抽簽，你會發現自己抽中與否是不公平的.這是一個條件概率的問題.從表二中我們可以看到，第一人沒有抽中的概率是 ，第二人抽中的概率變成了 ，所以第二人最終抽中的概率是

；第三人抽中的概率要這樣看，第一人沒有抽中的概率是 ，第二人沒有抽中的概率是 ，第三人抽取時，就一張簽，是必然事件，故第三人最終抽中的概率是

，

“從整個事件可以看出，我們在做概率問題時，要分清楚抽取是不是放回，放回實際是一個N次獨立事件的問題，概率與前面的事件發生概率無關；不放回是一個條件概率問題，后面事件發生的概率與前面事件的發生概率有關系.