你喜歡直線嗎？

胡章琴

你喜歡直線嗎？會畫它嗎？

你會求直線的方程嗎？

直線的方程有五種形式，你都熟悉嗎？你知道它們的優(yōu)缺點嗎？那你最喜歡誰呢？

我最喜歡點斜式.

例1 （1）已知直線ι過點A（2，1）且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等，求直線ι的方程.

（2）已知直線Z過點A（2，1）且與χ軸、y軸的正半軸分別相交于B，C兩點，求△OBC的最小面積，并求此時的直線ι的方程.

第一問你會怎么解呢？

有些同學(xué)很喜歡用截距式，哈哈！這樣就容易漏解啦！

看我的：

第二問呢？

這道題可以用截距式了吧！

對，這道題是可以用截距式.不過我還是認為點斜式更好，不信我們來PK 一下.

簡單吧！下面的就交給你了.

現(xiàn)在你是否也覺得點斜式好用呢？此時可能有的同學(xué)會認為我的第（1）問用的方法不夠簡捷，是的，如果我們同時結(jié)合圖形會更快地解決問題.本來數(shù)形結(jié)合就是解決數(shù)學(xué)問題非常好的一個方法，這點我們在學(xué)習(xí)解析幾何時更應(yīng)該深有體會.第（2）問如果你不畫圖你就不能快速看出 k<0這個條件.

那是否確定一條直線的條件就是“一點十斜率呢”？

例2 已知圓C：χ2+ y2=4，

（1）過點A（2，3）作圓C的切線ι，求切線ι的方程.

（2）過點B（l，3）作直線m與圓C相交所得的弦長為2√3，求直線m的方程.

（3）若直線n過點B（l，3），且圓C上恰有三個點到直線n的距離為1，求此時直線n的方程.

問 （1）中的切線ι有幾條？

答 因為點A（2，3）在圓C的外面，應(yīng)該有兩條，那為什么用點斜式只求出了一條呢？

你知道問題出在哪兒嗎？對！因為確定直線的不是“一點十斜率”，而是“一點十方向”，斜率≠方向，而點斜式唯一的缺陷就是不能表示與χ軸垂直的直線，故在使用點斜式時一定要結(jié)合圖形觀察斜率不存在的直線是否滿足題意.

由上可知，（2）中的直線m也有兩條，利用垂徑定理把“弦長為2√3”的條件轉(zhuǎn)化為“圓心到直線m的距離為1”即可求出.

你會解第（3）問嗎？圓C上恰有三個點到直線n的距離為1是什么意思？

結(jié)合圖1，我們不難發(fā)現(xiàn)：因為圓的半徑為2，因此只需圓心到直線n的距離為1時，圓C上就恰有三個點到直線n的距離為1，這樣第（3）問就轉(zhuǎn)化成第（2）問了，你明白了嗎？

雖然我喜歡點斜式，可是我不會忽略它的缺點，因此我每次在用它之前都會結(jié)合圖形看看斜率不存在的那條直線是否也是我所需要的.相信你以后也會這么做！

確定直線除了用“一點十方向”外，還可以用什么條件呢？

例3 已知直線ι：χ+y-2=0，

（1）求直線ι關(guān)于點A（2，3）對稱的直線m的方程.

（2）求直線ι關(guān)于直線y=2χ對稱的直線n的方程.

你會畫出要求的這些直線嗎？試試看！

如果你能畫出它們，我相信你就能求出它們相應(yīng)的方程.

拋磚引玉，我先來說說我的解法.

因為兩點確定一條直線，因此我們還可以用“一點十一點”來求直線方程.

解析 （1）在直線ι上任取兩點，如（2，0），（1，1），求出它們關(guān)于點A（2，3）對稱的點，則這兩點必在直線m上，因此，直線m的方程就可求出.

（2）由圖2可知：直線κ與直線y=2χ的交點（

）必在對稱的直線n上，再在直線ι上任取一點（2，0），其關(guān)于直線y=2χ的對稱點（

）也在直線n上，這樣，直線n的方程就可求出來了.

咦！還有更好的方法？好，我們一起來看看.

對，這兩問都可用一點十方向來做.因為（1）中的直線m和直線ι是平行的；（2）中的直線n，直線ι與直線y=2χ的夾角相等.

現(xiàn)在你知道了嗎？確定直線方程其實就這么簡單：

（1） 一點十方向；

（2） 一點十一點.