求一元多項式的最大公因式

高東杰

摘要：文章研究一元多項式求最大公因式的方法，首先介紹了最常用的的傳統方法，輾轉相除法；然后介紹了矩陣法，就是利用多項式的系數矩陣的初等變換來求最大公因式。第二種方法借助數值例子來加以說明，最后對兩種方法進行了比較。

關鍵詞：一元多項式 輾轉相除法 初等變換 最大公因式

求多項式的最大公因式是學習《高等代數》首先要面對的問題，要想讓學生更好地掌握這一知識點，需要任課教師對此知識有更深入的研究，使知識更加系統化。所以本文系統研究了最大公因式的求法，旨在對教學和科研能有一些啟發。

文章主要介紹了兩種方法，一種是傳統的輾轉相除法，另一種是比較方便的矩陣法。這類研究經典結論比較多。對于《高等代數》來說，矩陣是它的精髓，但是一般教材第一章講多項式，和矩陣沒有關系，事實并非如此，比如求多項式的最大公因式依然可以轉換為矩陣理論，也就是我們要介紹的矩陣法，這對于學生會有很大的啟發。

一、輾轉相除法

對于一元多項式的理論，我們都非常熟悉，一些基本的概念就不再一一贅述。下面我把輾轉相除法的步驟總結如下：

1.開始：用次數低的多項式去除次數高的多項式；若次數相同，用系數小的多項式去除系數大的多項式。

2.過程：用左邊的多項式除右邊的多項式，然后右邊的余式再除左邊的除式。依次下去，這個過程非常形象地展現了輾轉一詞的含義。

3.結束：除到余式為0，結束。

4.結果：所求最大公因式d（x）=倒數第二個余式

利用教材上的例題可以體會一下上面的過程，在此就不再給出具體的數值例子。

二、矩陣法

再介紹矩陣法之前，我們需要先引入一些概念，設f（x）=anxn+an-1xn-1+…+a1x+a0，我們提取多項式的系數，形成一個行矩陣，記為mf（x）=（an an-1 … a1 a0）。這樣的話，多項式就可以用矩陣來代替，這和利用系數矩陣解線性方程組的思想是一樣的。設g（x）=bmxm+bm-1xm-1+…+b1x+b0，不妨設，m≤n若m

對上面的矩陣進行一些初等行變換和輪換變換就可以得到f（x）和g（x）的一個最大公因式所對應的矩陣，從而得到其一個最大公因式。

矩陣的初等行變換都非常熟悉，就不再一一介紹，下面我們利用一個非常簡單的例子來介紹一下矩陣輪換的概念。

有了這些概念，我們給出利用矩陣法求最大公因式的步驟：

1.寫矩陣：寫出f（x）和g（x）所對應的矩陣為：

2.做初等行變換和平移變換：對上述矩陣進行初等行變換，化為階梯型矩陣；然后做平移變換，交叉進行，直至變為如下矩陣

3.結果：所求最大公因式d（x）=cpxp+cp-1xp-1+…+c1x+c0.

下面我們給出一個例子，來體驗這種方法。

例1 ： 求多項式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1的最大公因式。

解：f（x）和g（x）所對應的矩陣為：

對上述矩陣進行初等行變換和平移變換如下：

所以f（x）和g（x）的一個最大公因式為2x2-1。

矩陣法也適用于多個多項式求最大公因式，原理與兩個多項式一樣，我們把例1的多項式再增加一個，重新求一下最大公因式。

例2 ： 求多項式f（x）=2x3+2x2-x-1，g（x）=2x3-2x2-x+1，h（x）=-6x2+3的最大公因式.

解：f（x），g（x）和h（x）所對應的矩陣為：

對上述矩陣進行初等行變換和平移變換如下：

所以f（x），g（x）和h（x）的一個最大公因式為2x2-1.

三、方法比較

文章介紹的這兩種方法，第一種輾轉相除法，是最傳統的方法，缺點是計算較為復雜，計算多個多項式的最大公因式時更為麻煩，但是這是最經典的方法，是大家必須掌握的。其他方法都是以其為基礎的。

第二種方法，相對計算較為簡單，尤其計算多個多項式時，優勢更加明顯；另外這種方法更體現了矩陣在《高等代數》中的重要意義，但是這種方法，一般教材不講，需要自己掌握方法步驟。

參考文獻：

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（責編 金 東）