對直線交點(diǎn)個(gè)數(shù)問題的思考

周軍高

例（人教版數(shù)學(xué)教科書七年級上冊第130頁第12題）如圖1，2條直線相交，有1個(gè)交點(diǎn)，3條直線相交，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？4條。直線呢？你能發(fā)現(xiàn)什么規(guī)律嗎？

解析：8由圖1可知，3條直線相交，最多有3個(gè)交點(diǎn)，4條直線相交，最多有6個(gè)交點(diǎn)。

每增加1條直線。增加的交點(diǎn)個(gè)數(shù)最多等于原有直線的條數(shù)。

一、問題在探究

1.拓廣探究。

思考1：如果平面內(nèi)有n條直線，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

解析：由前面的例題可知，當(dāng)平面內(nèi)有2條直線時(shí)，最多有1個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有3條直線時(shí)，最多有（1+2）個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有4條直線時(shí)，最多有（1+2+3）個(gè)交點(diǎn)……

2.類比探究。

思考2：如圖2，如果平面內(nèi)有n個(gè)圓，最多有多少個(gè)交點(diǎn)？

解析：當(dāng)平面內(nèi)有2個(gè)圓時(shí)，最多有2個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有3個(gè)圓時(shí)，最多有（2+4）個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)平面內(nèi)有4個(gè)圓時(shí)，最多有（2+4+6）個(gè)交點(diǎn)……

3.逆向探究。

思考3：過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？試用含n的代數(shù)式表示。

解析：從特殊情況人手，通過畫圖（如圖3）不難發(fā)現(xiàn)規(guī)律。

過平面內(nèi)2個(gè)點(diǎn)畫直線，最多能畫1條直線：過平面內(nèi)3個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（1+2）條直線；過平面內(nèi)4個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（1+2+3）條直線……

每增加1個(gè)點(diǎn)，增加的直線條數(shù)最多等于原有點(diǎn)的個(gè)數(shù)。

因此，過平面內(nèi)n（（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，能畫出的直線最多有1+2+

4.解法探究。

思考4：思考3中的問題還有沒有其他解決方法？

經(jīng)過認(rèn)真思考，我們還可以得到下面兩種解決方法。

方法1：過兩個(gè)點(diǎn)有且只有1條直線，以兩個(gè)點(diǎn)為端點(diǎn)的線段也有且只有1條，于是我們可以把“過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線”轉(zhuǎn)化為“過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都連1條線段，最多能連多少條線段”，另外，線段能夠度量長度，長度不同的兩條線段是不同的，因此，為便于研究問題，可以把這n個(gè)點(diǎn)放在同一條直線上，然后計(jì)算線段的總條數(shù)。

如圖4，我們把這n個(gè)點(diǎn)放在同一條直線L上，并把這幾個(gè)點(diǎn)分別記為A₁、A₂、A₃、…、A_n-1、A_n，對于其中任意兩個(gè)點(diǎn)，我們用連接這兩個(gè)點(diǎn)的線段來代表過這兩個(gè)點(diǎn)的直線。

以A₁。為左端點(diǎn)的線段有（n-1）條，以A₂為左端點(diǎn)的線段有（n-2）條，以A₃為左端點(diǎn)的線段有（n-3）條……以A_n-1為左端點(diǎn)的線段有1條。

方法2：分兩步思考問題。

第一步，思考：過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的某一個(gè)點(diǎn)與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？

第二步，思考：過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的每兩個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫多少條直線？

過平面內(nèi)n（n≥2）個(gè)點(diǎn)中的某一個(gè)點(diǎn)與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多能畫（n-1）條直線，一共有n個(gè)點(diǎn)，過每個(gè)點(diǎn)與其他（n-1）個(gè)點(diǎn)中的任意一個(gè)點(diǎn)都畫1條直線，最多共能畫n（n-1）條直線，考慮到過每兩個(gè)點(diǎn)的直線都重復(fù)計(jì)算了一次，因

評注：方法1用到了轉(zhuǎn)化（化歸）思想，這是一種重要的數(shù)學(xué)思想，方法2則體現(xiàn)了整體思想，前面的例題也可以用方法2解決。同學(xué)們可以嘗試一下。

二、變式探究

如果把平面內(nèi)的n（n≥2）個(gè)點(diǎn)想象成某個(gè)團(tuán)體中的n個(gè)人，把過兩個(gè)點(diǎn)畫直線想象成兩個(gè)人之間通電話，可以得到下面的變式題，

變式1：某公司有n（n≥2）名員工。每兩名員工之間都通一次電話，則這n名員工之間一共通多少次電話？

變式2：某公司有n（n>12）名員工，每兩名員工之間都互發(fā)一條問候短信，則這n名員工之間一共發(fā)多少條短信？

解析：表面上看，變式2與變式1好像是一樣的，仔細(xì)審題后會發(fā)現(xiàn)它們還是有不同之處的，那就是兩名員工之間互發(fā)的問候短

如果把平面內(nèi)的n（n≥2）個(gè)點(diǎn)想象成某條鐵路線上的n個(gè)車站，把過兩個(gè)點(diǎn)畫直線想象成針對某列客車的某種座位核定兩個(gè)車站之間的票價(jià)或設(shè)計(jì)兩個(gè)車站之間的車票，可以得。到下面的變式題，感興趣的同學(xué)不妨做一做。

變式3：某條鐵路線上有n（n≥2）個(gè)車站，針對某列客車的某種座位在每兩個(gè)車站之間核定一種票價(jià)，則共有多少種票價(jià)？

變式4：某條鐵路線上有n（n≥2）個(gè)車站，針對某列客車的某種座位在每兩個(gè)車站之間都設(shè)計(jì)車票，則共需設(shè)計(jì)多少種車票？

同學(xué)們在解題后會發(fā)現(xiàn)，這些問題雖然表面形式不同，但它們的解題思路、步驟乃至結(jié)果非常相似，這就是“萬變不離其宗”，同學(xué)們要認(rèn)真地體會、領(lǐng)悟。

責(zé)任編輯：潘彥坤