類比在數學學習中的應用

房震

在中學數學中，由兩個數學系統中所含元素的屬性在某些方面相同或相似，推出它們的其他屬性也可能相同或相似的思維形式被稱為類比推理，運用類比推理的模式解決數學問題的方法稱為類比法。

類比在數學知識延伸拓展過程中常借助于比較、聯想來啟發誘導以尋求思維的變異和發散。在歸納知識系統時又可用來串聯不同層次的類似內容，幫助理解和記憶。因此，歸納法和類比法既是數學學習的重要方法，也是數學發現的有效方法。

類比法是由此及彼以及由彼及此的聯想方法，教師在教學中必須善于引導學生去聯想、類比，才能充分調動學生的想象力，讓他們通過比較去發現、去認識、去掌握知識。培養具有創造能力的人才，就要幫助他們學會歸納和類比。類比具有啟迪思維、提供線索、舉一反三的作用，對發展思維特別是創造性思維十分有利，類比在中學數學中隨處可見。如通過類比，從等差數列通項公式把加法類比為乘法，把乘法類比為乘方，即得到等比數列通項公式，同樣，等差數列中有關公式，如類比為。同時，類比法是系統掌握新知識、鞏固舊知識，使新舊知識融會貫通的有效方法。在實際教學中，教師必須有意識地引導學生注意知識之間的比較，比如，實系數一元二次方程有求根公式，根與系數的關系，在復系數一元二次方程時，也應適用。這就是看到了兩者在形式上的相似之處。由長方形對邊互相平行，鄰邊互相垂直，對照長方體對面互相平行，相鄰邊互相垂直，引起類比聯想：長方形對角線的平方等于長和寬的平方和，聯想長方體的對角線也有類似關系，事實上，長方體對角線的平方等于其相鄰三條棱的平方和。同時，類比法是系統掌握新知識、鞏固舊知識，使新舊知識融會貫通的有效方法。數學的發展是一個不斷地從原有知識向深度和廣度推進的過程，所以，各個系統的知識與知識之間必然存在著相似之處，更何況，許多知識的發展就是類比發現的結果。從舊知識去發現新知識，這不僅僅能起到事半功倍的效果，還將會大大提高學生的學習興趣，取得良好的學習效果。

在數學教學中，可以從以下兩方面引導學生開展類比聯想活動。一方面，在新課中做出類比聯想的示范。另一方面，啟發學生利用類比聯想去制定解題方案，以建立新猜想、新概念。

類比法的前提和結論之間有著或然的聯系。也就是說，當前提為真時，其結論可能為真，也可能為假。例如，在數學教學過程中，我們發現有的學生經常把sin（）形式地與a（b+c）相類比，錯誤地得出sin（）=sin+

sin。由定理“平面內兩直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線平行”到命題“空間內兩直線同時垂直于第三條直線，則這兩條直線平行”屬“推廣”行為，可惜不成功。但是，該定理到命題“空間內兩直線同時垂直于一個平面，則這兩條直線平行”不是推廣，而是類比，并且成功了。以上各例表明：

類比的確可以幫助學生發現有意義的真命題，并且，學生一旦養成了類比的習慣，掌握了一定的方法要領，思路就會變寬，思維就會變活躍。因此，類比是每一個期望自己有所發現的學生必須具備的一種方法。

類比和推廣是有區別的。

類比所需要的想象力，往往由背景所引發。類比所需要的完善性，也往往以背景為基礎，絕不能瞎想硬套。然而，在同一背景下，各人的反應卻可以大不相同。由此可見，思維的方式、思維的習慣、思維活躍程度等等，往往同學識廣博程度一樣重要。

類比總是類比，類比不等于雷同。關于某一類對象成套定理體系，類比到另一類對象時，有些命題的真假性被破壞是不足為奇的。

教師在教學中進行類比活動，必須注意以下三方面：

類比法的基礎在于客觀世界的相對穩定性，帶來了各種事物的聯系的多樣的統一，但類比法除了同構類比和一部分實質類比聯想之外，可靠性較小，中學生又容易自覺或不自覺地進行各種各樣的類比，有的類比是應當及時否定的。

幫助學生抓住類比根源和類比目標。分清類比根源，主要是要確認對應“相似”元素和對應的“相似”關系。如三角形三個內角的平分線交于一點，這個點是內切圓圓心，類比到三棱錐的各個二面角平分面交于一點，這個點是三棱錐的內切球心。

要使學生認識到類比出來的結論還需要通過邏輯論證的檢驗，結論或者得到證明而被肯定，或者被推翻。

類比法在各種邏輯推理中，是最富有創造的一種方法。這是因為類比法不限于在同類事物中進行對比，也不必像演繹法那樣，受一般原理的限制，亦不必像歸納法一樣，需要考慮歸納材料的個數。使用類比，可以跨越各個種類進行不同種類事物的類比，可以比較本質的特征。它比之歸納，更富有想象，因而具有較強的探索和預測的作用。

（作者單位：江蘇省丹徒中等專業學校）