邊際效用的混沌性分析

周紹妍

【摘要】針對經濟系統中，許多經濟現象從表面看具有極不規則的特征，這為試圖用混沌理論和方法來研究經濟系統提供了條件.通過引入邏輯斯蒂經濟模型，對凱恩斯三大經典理論之一 ——邊際效用論進行描述，最后根據混沌吸引子，周期分岔理論通過模型對其進行了在不同參數的取值情況下所產生的混沌道路及吸引子的分析.結果表明：系統運動的周期變化行為是一種有序狀態，但經過周期加倍，會逐漸喪失周期性而進入混沌狀態.

【關鍵詞】LiYorke混沌；迭代；邏輯斯蒂模型；邊際效用；積累效應

一、混沌的基本理論

1975年，美籍華人李天巖與其導師Yorke在一篇題為《Period Three Implies Chaos》的論文中第一次用嚴格的數學語言給“混沌”下了定義，深刻揭示了從有序到混沌的演化過程.設f是度量空間X，d到自身的連續映射，x，y∈X.如果滿足：

limn→∞ infdfnx，fny=0

limn→∞ supdfnx，fny>0

則稱x，y為f的LiYorke對；如果一個不少于兩點的子集中任何不同兩點均是f的LiYorke對，則稱該集合為f的LiYorke混沌集；如果有一個由不可數多點構成的LiYorke混沌集，則稱它為LiYorke混沌.

二、簡單的混沌經濟模型

混沌經濟理論認為邏輯斯蒂方程（Logistic equation）能夠反映出經濟增長過程中許多要素的變換規律，是描述動態系統的最簡練最直接的經濟模型.它的結構是：xt+1=xtμ（1-xt），其中xt∈（0，1），μ∈（0，4）.其中xt是一個混沌經濟系統的內生變量，μ是xt的控制參數，t是變換次數，邏輯斯蒂方程證明了變量xt具有倍周期分叉的規律，確定了菲根鮑姆常數δ=4.6692，發現xt與μ之間的關系可以用分叉圖表示.而倍周期分叉是進入混沌的道路之一.

三、邊際效用描述

邊際效用是指某商品的消費量每增（減）一個單位，所引起的總效用的增（減）量.公式為：MU=ΔTUΔQ.也就是說，邊際效用是指所消費物品之一定數量中最后增加的那個單位提供的效用.在不同時期，對于同種產品由于消費者購買數量和消費次數的不同，邊際效用值是波動的，具有很大的隨機性.

四、建立邊際效用的Logistic模型

經濟學理論研究表明，消費者在一定時期內消費某種商品的數量，是決定總效用的主要因素.n+1時期購買某種商品的總效用與n時期的購買同種商品的數量有關.n+1時期的總效用與n時期的購買數量的關系如下：

TUn+1=b+βQn 其中b和β都是常數（4.1）

對不同時期的總效用與消費數量變動，用差分方程可表示為：

ΔTUn+1=ΔQn（4.2）

將式（4.2）代入（4.1）得到不同時期總效用變動比率與消費數量變動的關系式：

MUn+1=βΔQnΔQn+1（4.3）

然后應用結構乘數方程的模型來表示n+1時期和n時期的商品消費數量變動，可以得到：

ΔQn+1=RΔQ0MUn+1（1-MUn+1）（4.4）

ΔQn=R′ΔQ′0MUn（1-MUn）（4.5）

其中，ΔQn+1和ΔQn表示n+1期和n期的消費商品數量變動值，ΔQ0和ΔQ′0表示n+1期和n期的最初消費數量，R和R′是系數，與最初的購買次數有關，把式（4.4）、（4.5）分別代入式（4.3），整理得：

MUn+1=1-（dβ）MUn（1-MUn）（4.6）

其中，d=RΔQ0R′ΔQ′0（4.7）

式（4.6）表明，n+1期的邊際效用與d，β和MUn的取值有關.我們不妨設dβ為常數項，設MUn=xn，以此來迭代MUn+1與MUn之間的關系.如果設最初消費數量ΔQ0和ΔQ′0為單位數量，考慮R和R′無變化，使ΔQ0=ΔQ′0，R=R′，則由式（4.6）可推出：

即：fxn=1-gxn（4.10）

式（4.10）是邊際效用的函數式，不難看出式（4.9）變化軌跡可反映出式（4.10）變化軌跡.

五、分析邊際效用的混沌特性

針對已經建立的邊際效用的邏輯斯蒂模型，通過式（4.9）對fxn逐步進行分析：

1.分析當β≥1時，邊際效用有兩個吸引子：x=1和x=β，其中穩定不動點是x=1，排斥不動點是x=β.fxn有周期1解.也就是說，不論初值如何取值，邊際效用函數總是趨向于x=1處變化.

2.分析當13<β<1時，邊際效用仍然有兩個吸引子：x=1和x=β，此時穩定不動點變成x=β，而排斥不動點是x=1.

3.分析當11+6<β<13時，邊際效用有4個吸引子.其中x=1和x=β是穩定不動點，另外兩個是排斥不動點.fxn有周期2解.即：無論初值如何取值，邊際效用總是趨向于另外兩個不動點收斂.

4.分析當0.2822…<β<1+6時，邊際效用有八個吸引子，fxn有周期4解.

5.分析當β繼續變小下去時，fxn依次出現周期8解，周期16解……

6.分析當β→0.2801 時，分析不動點，已經找尋不到規律.此時的不動點通過倍周期分叉道路，進入混沌.

7.分析當β=0.2612…時，fxn存在周期3解，此時，混沌和周期交替出現.

通過以上研究，我們發現系統運動的周期變化行為是一種有序狀態，但這種有序狀態不是永恒持續下去的，當系統在一定前提下，經過周期加倍，會逐漸喪失周期性而進入混沌狀態.如果一個經濟系統處于混沌狀態，就意味著內部結構出現了問題，處于混沌狀態的經濟系統是脆弱的，勢必引發無法預期的經濟波動.

【參考文獻】

[1]黃潤生.混沌及其應用[M].武漢：武漢大學出版社，2003.

[2]吉蘊，李祖平.邏輯斯蒂模型及其應用[J].濰坊學院學報，2010（7）.