函數圖像對稱性與周期性的內在聯系

孫云英

【摘要】對于一個奇函數，若圖像中存在一條對稱軸x=a（a≠0），則為周期函數，并且4a是它的一個周期；若圖像中存在一個對稱中心（a，0）（a≠0），則為周期函數，并且2a是它的一個周期.對于一個偶函數，若圖像中存在一條對稱軸x=a（a≠0），則為周期函數，

并且2a是它的一個周期；若圖像中存在一個對稱中心（a，0）（a≠0），則為周期函數，并且4a是它的一個周期.

【關鍵詞】函數；對稱性與周期性；聯系

函數圖像對稱性（奇偶性）與周期性有以下內在的聯系：

（1）若定義在R上的函數f（x）的圖像關于直線x=a和x=b（b>a）成軸對稱，則f（x）為周期函數，并且2（b-a）是它的一個周期（未必是最小正周期，以下同）.

（2）若定義在R上的函數f（x）的圖像關于點（a，0）和（b，0）（b>a）成中心對稱，則f（x）為周期函數，并且2（b-a）是它的一個周期.

（3）若定義在R上的函數f（x）的圖像關于點（a，0）成中心對稱和直線x=b（b>a）成軸對稱，則f（x）為周期函數，并且4（b-a）是它的一個周期.

由此可知，對于一個奇函數：

（1）若圖像中存在一條對稱軸x=a（a≠0），則為周期函數，并且4a是它的一個周期.

（2）若圖像中存在一個對稱中心（a，0）（a≠0），則為周期函數，并且2a是它的一個周期.

對于一個偶函數：

（1）若圖像中存在一條對稱軸x=a（a≠0），則為周期函數，并且2a是它的一個周期.

（2）若圖像中存在一個對稱中心（a，0）（a≠0），則為周期函數，并且4a是它的一個周期.

下面舉例看一下上述結論的應用，以饗讀者.

例1 設f（x）是定義在R上的偶函數，它的圖像關于直線x=2對稱，已知x∈[-2，2]時，函數f（x）=-x2+1.求當x∈[-6，-2]時，f（x）的解析式.

解 因為f（x）是定義在R上的偶函數，且它的圖像關于直線x=2對稱，所以函數f（x）為

周期函數，且其一個周期T=4，即有f（x+4）=f（x）.

當-6≤x≤-2時，-2≤x+4≤2，又當-2≤x≤2時，f（x）=-x2+1，因此f（x+4）=-（x+4）2+1.

故當-6≤x≤-2時，f（x）=-x2-8x-15.

例2 設f（x）是定義在R上的奇函數，且它的圖像關于直線x=12對稱.求f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）的值.

解 因為f（x）是定義在R上的奇函數，且它的圖像關于直線x=12對稱，所以函數f（x）

為周期函數，且其一個周期T=2，即有f（x+2）=f（x）.

所以f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=f（1）+f（0）+f（1）+f（0）+f（1）=3f（1）+2f（0）.

因為f（x）是定義在R上的奇函數，所以f（0）=0.

又f（1）=f（0），所以f（1）=0.因此f（1）+f（2）+f（3）+f（4）+f（5）=0.

例3 設點P是函數f（x）=sinωx的圖像C的一個對稱中心，若點P到圖像C的對稱軸的距離的最小值是π4.求f（x）的最小正周期.

解 因為f（x）是定義在R上的奇函數，且坐標軸x=0是它的一條對稱軸，所以函數f（x）最小正周期為T=（π4-0）×4=π.

例4 已知函數f（x）是定義域為R的奇函數，且它的圖像關于直線x=1對稱，若f（x）=x

（0

解 因為f（x）是定義在R上的奇函數，且它的圖像關于直線x=1對稱，所以函數f（x）為周期函數，且其一個周期T=4，即有f（x+4）=f（x）.顯然f（0）=0，當0

當1

所以f（x）=x，（-1≤x≤1），-x+2，（1

因為函數f（x）的周期為T=4，

所以f（x）=x-4k，（4k-1≤x≤4k+1）-x+2+4k，（4k+1

例5 設函數f（x）定義在R上，滿足f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），且在區間[0，7]上，只有f（1）=f（3）=0.試求方程f（x）=0在閉區間[-2005，2005]上的根的個數.

解 因為f（2-x）=f（2+x），f（7-x）=f（7+x），所以函數f（x）有兩條對稱軸x=2和x=7.所以

函數f（x）為周期函數，且其一個周期T=（7-2）×2=10. 又f（3）=f（1）=0， 所以f（11）=f（13）=

f（-7）-f（-9）=0.故f（x）在[0，10]和[-10，0]上均有2個根，從而可知，函數y=f（x）在[0，2000]

和[-2000，0]上均有400個根，在[2000，2005]上有2個根，在[-2005，-2000]上沒有根.所以，

函數在[-2005，2005]上有802個根.

通過上述舉例，可以看出，準確把握函數圖像的對稱性（奇偶性）與周期性內在的聯系，正確應用它們內在的聯系，可以簡化解題過程，提高解題效率.讀者不妨今后以探之，以明快感.