積分第一中值定理的改進

李敏　張威

【摘要】本文給出積分第一中值定理的兩個新的證明方法，并改進積分第一中值定理中ξ屬于閉區間[a，b]結論，得到至少存在一點ξ∈（a，b）使得∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

【關鍵詞】變上限函數； 拉格朗日中值定理； 積分第一中值定理

1.引言、定義與引理

積分第一中值定理是一元函數積分學中的重要定理之一. 本文應用變上限函數、拉格朗日中值定理和反證法給出積分第一中值定理的兩個新的證明方法，在這兩個證明方法中，對于定理的條件不做任何改動，但是在定理的結論上對原定理做出了改進，得到至少存在一點ξ∈（a，b）使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

定義[1] 設函數f（x）在閉區間[a，b]上可積，記函數F（x）=∫xaf（t）dt，x∈[a，b]，并稱其為變上限函數.

引理[1]（積分第一中值定理） 若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則至少存在一點ξ∈[a，b]，使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

2.主要結論與證明

定理1 若函數f（x）在閉區間[a，b]上連續，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證法一 應用變上函數、拉格朗日中值定理證明定理.

證 變上限函數F（x）=∫xaf（t）dt在閉區間[a，b]上可導，從而函數F（x）在[a，b]上滿足拉格朗日中值定理的條件，因此，至少存在一點ξ∈（a，b），使得F′（ξ）=F（b）-F（a）b-a.

再根據微積分學基本定理和牛頓—萊布尼茨公式，則至少存在一點ξ∈（a，b），使得

f（ξ）=F′（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

即

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

證法二 應用反證法證明定理.

證 假設任意t∈（a，b）都使得

f（t）≠1b-a∫baf（x）dx=A.

則必成立下列三種情況之一：

情況（1）：

若f（t）>1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

則有不等式

∫baf（t）dt>∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

顯然上述不等式矛盾.

情況（2）：

若f（t）<1b-a∫baf（x）dx=A，t∈（a，b），

則有不等式

∫baf（t）dt<∫baAdt=A（b-a）=∫baf（x）dx，

顯然上述不等式矛盾.

情況（3） 若存在t1，t2∈（a，b）（不妨設t1

f（t1）<1b-a∫baf（x）dx

因為f（x）在閉區間[a，b]上連續，自然在[t1，t2]上連續，于是根據連續函數介值性定理至少存在一點ξ∈t1，t2（a，b），使得

f（ξ）=1b-a∫baf（x）dx，

這與假設矛盾.

綜上所述至少存在一點ξ∈（a，b），使得

∫baf（x）dx=f（ξ）（b-a）.

結論證畢.

【參考文獻】

[1]華東師范大學數學系編. 數學分析[M]. 北京： 高等教育出版社，2001.

[2]劉玉璉，傅沛仁. 數學分析講義[M]. 北京： 高等教育出版社，1996.