油罐罐容表的標定及變位識別

孟鳶　劉麗蝶　黃允

【摘要】通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，而許多儲油罐會由于地基變形發生罐體位置縱向傾斜和橫向偏轉等變化，從而導致罐容表發生改變，影響了油站對于油料的有效監控.結合CUMCM 2012年A題給出的實例，本文分析了在不同變位，情況下儲油罐內實際油料體積與顯示油高的關系，建立了儲油罐變位參數、顯示油高和實際油料體積之間的函數關系.通過罐內油料體積實測數據修正了原模型，并利用改進后的模型進行變位識別和罐容表標定.

【關鍵詞】罐容表標定；變位；目標規劃；體積模型

一、問題重述

通常加油站都有若干個儲存燃油的地下儲油罐，并且一般都有與之配套的“油位計量管理系統”，采用流量計和油位計分別測量進/出油量與罐內油位高度，通過預先標定的罐容表（即罐內油位高度與儲油量的對應關系）進行實時計算，以得到罐內油位高度和儲油量的變化情況.許多儲油罐會由于地基變形發生罐體位置縱向傾斜和橫向偏轉等變化，即變位.從而導致罐容表發生改變.按照有關規定，需要定期對罐容表進行重新標定，而目前尚無科學有效的方法，故此問題對于油站具有重要的研究價值.先考慮如下一個實例，嘗試建立數學模型研究解決儲油罐的變位識別與罐容表標定的如下問題：

1.為了掌握罐體變位對罐容表的影響，利用橢圓柱型儲油罐，分別給出罐體無變位和傾斜角為α=4.1°的縱向變位兩種情況下的實驗數據，建立數學模型研究罐體變位對罐容表的影響，并給出罐體變位后油位高度間隔為1 cm的罐容表標定值.

2.對于實際儲油罐，建立罐體變位后標定罐容表的數學模型，即罐內儲油量與油位高度及變位參數（縱向傾斜角度α和橫向偏轉角度β）之間的一般關系，并利用罐體變位后在進/出油過程中的實際檢測數據，根據所建立的數學模型確定變位參數，并給出罐體變位后油位高度間隔為10 cm的罐容表標定值，進一步利用實際檢測數據來分析檢驗模型的正確性與方法的可靠性.

二、問題分析

求解體積的思路為建立積分式，首先需要準確地選取體積微元.考慮垂直于罐底的切面選取體積微元，則其形狀在實際油罐體中均為橢圓或圓的一部分，解簡單方便.在積分時需要特別注意變位對積分上下限的影響.以大油罐為例，考慮利用解析幾何相關知識確定出計算每一體積微元底面積時的積分上限.對于變位，首先考慮縱向傾斜，再考慮罐體橫向偏轉時，其只會對測量高度值產生影響，而不會影響油在罐體內的分布情況，因此只需要將測量高度值轉化成此時油位探針處真實的油高值即可.

三、模型假設

1.油罐規格的測量數據均由在油罐內測量取得，并且誤差很小.

2.實驗測量數據較為準確可靠.

四、符號與變量說明

h：某時刻測量油高，S：油平面面積，α：縱向傾斜角度，β：橫向偏轉角度， l0：油浮子到柱體近端距離，L：容器柱體部分長度.

五、模型的建立與求解

將橢圓柱體油罐和帶有球冠體的大油罐分開分析.對于橢圓柱體，建立其測量高度與實際油體積間的方程，求解出與問題中附件給出高度相應高度的理論體積之后，運用回歸分析方法探索差值規律，修正體積模型后解決罐容表標定.對于大油罐，建立變位情況下的油體積模型后，建立目標規劃模型尋求最佳的變位參數，并標定此時的罐容表.

（一）對橢圓柱體的分析

1.無變位時，平行于柱體側面縱向截取體積微元.將體積微元抽象于標準坐標系中，a為側面橢圓的長半軸，b為側面橢圓的短半軸，h為油高.

則在坐標系下，側面橢圓方程易知，當參數a=0.89 m，b=0.6 m，可知當x>0時，x（y）=abb2-y2，此時體積微元的面積為

S=∫h02x（y）dy=2aLb∫h-b-bb2-y2dy（1）

對體積微元進行積分，解得油料體積與顯示油高間的關系：

V=2aLb∫L0∫h-b-bb2-h2dhdx=arccos1-hb-1-hb2hb-hb2abL（2）

將橢圓柱油罐的實驗采集數據表中進油的各測量高度代入式（2），即可得出對應高度的理論體積值，即罐容表.

2.縱向傾斜時，同樣只需要知道微元位置處的油面高度，即可通過式（1）算出該微元的側面積；而由于罐體縱向傾斜，各體積微元h不再相同.將小橢圓儲油罐的立體圖抽象到坐標系中，求解縱向傾斜時的h值.直線yx代表油平面，2b是側面橢圓的長軸，l是柱體的長，l0是油浮子和相近側面的距離.

則油浮子坐標為l0，h，由點斜式得

y=yx=-tanαx-l0+h（3）

而體積微元dVx=Sbydx，可得體積微元的表達式為

V=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γb1-γb2+arcsinγbabdx（4）

其中γ=-tanα（x-l0）+h-b.

3.下面進行理論與實際值誤差的分析.

上文已由微積分的知識推導出兩種情況下的油體積公式，即為體積的理論值.將累加的進油量加上初始油值作為實際值.發現理論與實際的油體積值會有一定差距.接下來對不同位置的橢圓柱油罐的油體積公式做差值分析.

下面進行無變位時的差值分析，建立的多項式回歸的模型通過Matlab檢驗回歸模型顯著，采用一元三次多項式進行擬合，結果如下：

ΔV=-82.64h3+148.15h2+59.54h-1.8545

同理可以求得縱向傾斜時的誤差.

（二）實際儲油罐內油體積的計算模型

實際儲油罐的形狀分為圓柱體和球冠面兩部分，分開討論.且因難于確定罐體的變位情況，先將縱向傾斜和橫向偏轉分開討論，再解決它們同時存在的情況.

1.圓柱體部分油體積公式

（1）僅有縱向傾斜時

因為圓柱實際上側面橢圓的長短半軸相等的是橢圓柱，故僅有縱向傾斜時的圓柱體部分油體積公式為橢圓柱油體積公式的特殊情況，設圓柱徑為R0，則令式（6）中的a=b=R0，即可得到圓柱體油體積公式積分公式

V=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γR01-（γR0）2+arcsinγR0R0dx（5）

（2）僅有橫向偏轉時

僅有橫向偏轉時，體積微元和無偏轉時的橢圓柱體情況類似.但此時實際油面高度不再等于測量高度，需要找到其中的轉化關系.橫向偏轉角度為β，實際油面高度為h′.由圖1中的幾何關系可知：h′=R0+h-R0cosβ，代入式（2）中，即可得到僅有橫向偏轉時圓柱體內油體積公式：

（3）同時存在縱向傾斜和橫向偏移時

可把整個變位看作是個動態的過程，先有縱向傾斜，此時油體積與測量高度的關系已知.再作橫向偏移，由于圓的對稱性，每個平行于圓柱體側面的微元形狀和面積與偏移前完全相同，因此計算方法也不變，只是此時的測量高度不再是其測量位置的實際油高，而需要通過式（5）將測量高度轉化為實際高度.再將h′作h代入式（5），則同時存在兩種變位時的油體積積分公式為

V1=∫L0S（x）dx=∫L0π2+γR01-γR02+arcsinγR0R0dx

其中γ=-tanα（x-l0）+h′-b.

2.球冠體部分油體積公式

（1）無變位時的油體積公式

將球冠體的立體圖抽象于如圖2的坐標系中，O為球冠體底面圓心，y軸與球冠體的底重合，x軸與圓柱體的母線平行.ξ為體積微元的球冠體底面處的油高，c為球冠體的高，d為球冠體的底面半徑.

設球冠體半徑為R，油面所截小圓的半徑為r=R2-e2，e=d-ξ.由幾何關系可得球冠體內體積微元的面積為S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ.

其中θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-e2=arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2， f=d2-e2.（6）

其中dξ為厚度微元，而體積微元 dV（ξ）=S（ξ）dξ，則無變位時油體積為

V=∫h0S（ξ）dξ=∫h0r2arcsind2-d-ξ2R2-d-ξ2-rfcosθdξ（7）

（2）有變位時的油體積公式

首先考慮求解面積微元截面的小圓半徑.球冠體及部分柱體的剖面示意圖如圖2，圖中圓為球冠體所在球的垂直于水平面的大圓，O′為其圓心，O″為體積微元所在小圓圓心.原點O在柱體母線和球冠體底面的交點，y軸與球冠體的底重合，x軸與圓柱體的母線平行.

由圖2中的幾何關系可得體積微元所在小圓半徑為：

r（ξ）=R2-e2，其中 t1=ξ-dtanα，t2=R-c-t1，e=t2sinα.

最終得到的縱向傾斜時體積微元的底面積為：

S（ξ）=r2θ（ξ）-rfcosθ，θ（ξ）=arcsinfr=arcsind2-e2R2-d-ξ2

由于縱向傾斜，微元厚度應是cosαdξ.設R0為側面圓半徑，測量高度h與實際高度h′之間的關系為h′=R0+h-R0cosβ.由幾何關系可知：

h21=h′+l1tanα，h22=h′-l-l1tanα

則V21h=∫h210S（ξ）cosαdξ，V22h=V0-∫2b-h220S（ξ）cosαdξ（8）

最后，儲油罐內油料體積V的為各部分之和，即V=V1+V21+V22.

（三）確定大油罐變位參數α和β的目標規劃模型

結合大油罐進出油實驗數據，將理論計算值和實際值之差的差最小作為目標，建立目標規劃模型.

實測部分數據參見CUMCM 2010A題附件，i代表流水號，Vhi代表油高hi對應的理論油體積值，ΔV′i為i流水號對應的實際出油量.以理論出油量和實際出油量的差最小為目標，容量N=502，建立優化模型為：

min∑Ni=1ε2i，εi=ΔVi-ΔV′i（9）

采用遍歷搜索法，MATLAB運行結果為（α，β）的最優取值為（2.1°，4.0°）.

將變位參數代入油體積公式，利用復化辛普森公式計算各刻度值對應的數值解.

（四）模型的檢驗

在對罐容表進行標定時，只使用了部分數據，可將剩余的數據用作罐容表標定方法的檢驗.所得模型誤差的均值Eεi=3.402，Dεi=10.295，可知罐容表標定方法的系統誤差并不大，較為準確.

【參考文獻】

[1]付叔林.傾斜油罐容量的計算[J].黑龍江八一農墾大學，1981（2）：43-52.

[2]李志榮.橢圓柱形臥式油罐的計算[J].應用與研究，2004：17-26.

[3]高教社杯全國大學生數學建模競賽，CUMCM 2010A題.