關于積分符號中因子關系的討論

王亞紅　段世英

【摘要】數學是一門嚴謹的科學，其嚴謹很大程度上依賴于數學符號.數學問題轉化為數學符號描述，使問題趨于簡潔易懂.在大學數學的研究和學習中，數學符號大量出現，如果對數學符號理解不夠深入，會導致一些錯誤的出現.本文針對積分符號中被積函數f（x）與dx之間是否是一些教師所理解的因子關系進行分析和研究.

【關鍵詞】數學符號；積分符號；因子關系

一、積分符號的創立及作用

1675年，萊布尼茲在手稿中首次用“omn”表示求和，從而出現了第一組符號化微積分表達式：omn·1=y，omn·y1=omn·omn1·1[]a，接著萊布尼茲用∫取替“omn”并在研究微積分的過程中提出許多新符號，如微分符號dx，d2x，d3x，……微商符號dy[]dx等.萊布尼茲堅信好的符號可以節省思維過程，使思路和書寫更加美觀、有效.并且這些符號具有“反映事物內在本質，減輕想象的任務”等特點，所以在18世紀英國人因優越感而拒絕使用萊布尼茲的符號時，已經采用萊布尼茲微積分符號的歐洲大陸數學水平飛速提高.

二、關于積分符號的討論

（一）不定積分定義中的積分符號

結合同濟大學第六版《高等數學》關于原函數和不定積分的定義，有：

如果dF（x）[]dx=f（x），則f（x）在區間I的不定積分∫f（x）dx=F（x）+C（1）

這里dx只是在強調x是積分變量，沒有因子意義.僅由定義可得到不定積分性質：d∫f（x）dx[]dx=f（x），∫f′（x）dx=f（x）+C.由此二式，有d∫f（x）dx=f（x）dx.注意這個式子左邊dx沒有因子意義，右邊dx是因子意義.同時還有∫df（x）=f（x）+C，當然df（x）也沒有因子意義的.此外有

∫f（φ（x））dφ（x）=F（φ（x））+C（2）

這里dφ（x）也不是因子意義，在強調φ（x）是積分變量.那么∫f（φ（x））φ′（x）dx=？即問f（φ（x））φ′（x）的原函數是什么呢？因為

F（φ（x））′x=F′（φ（x））φ′（x）=f（φ（x））φ′（x）說明F（φ（x））就是f（φ（x））φ′（x）的一個原函數.即

∫f（φ（x））φ′（x）dx=F（φ（x））+C（3）

比較（2）（3）式，得到一個有意義確實成立的等式：

∫f（φ（x））φ′（x）dx=∫f（φ（x））dφ（x）（4）

這里dφ（x），dx都不是因子意義.這就是不定積分的第一換元法（湊微分法）.對（4）式，若視“符號”dφ（x）是函數的微分，那么可以按微分理解：

φ′（x）dx=dφ（x）（5）

大家都知道（5）式是一個微分.但當從（4）這樣的推理下給出，那可就是一個“形式相等的意義”.數學公式本來就是要得到一個容易理解、接受的式子.所以在不定積分運算中，當我們把上述不是因子的符號都理解為因子，那么一切都變得是我們熟悉的了！

如果當初不定積分記為∫xf（x）=F（x）+C，那么相應的（4）式得記為

∫xf（φ（x））φ′（x）=∫φ（x）f（φ（x）），這實在是眼花繚亂！

一旦人們這樣的“形式理解”不定積分的符號，計算時就容易了.第二換元法、分部積分都是在這樣的理解下完成的.

（二）定積分定義中的積分符號

定積分、不定積分符號只有“點滴”差別，但卻是不同的兩個概念.

定積分這樣說：設f（x）在[a，b]上有界，對[a，b]的任意分劃Δ，如果極限limλ→0∑n[]i=1f（ξi）Δxi存在，稱該極限為定積分，記∫baf（x）dx.（6）

這里的dx只是在強調x是積分變量，沒有因子意義.雖然有

∫baf（x）dx≈∑n[]i=1f（ξi）Δxi（7）

近似是一個相對的詞，如果由Δxi是因子就說dx是因子那肯定是不對的.大家都知道，符號∫是英文sum的首字母拉長，有求和的意思（定積分意義的確是不均勻求和），那和dx是否是因子也沒關系.

定積分換元法中要求f（u）連續u=φ（x）有連續的導數，才保證了∫baf（x）φ′（x）dx，∫BAf（u）du的存在.從而兩個被積函數有相同的原函數，所以

∫baf（x）φ′（x）dx=∫BAf（u）du形式寫為

∫baf（φ（x））dφ（x）（8）

這就是定積分的換元法.（8）中第三項只是第二項的形式記號，更不會談dφ（x）是否是因子了，萊布尼茲積分號真是妙不可言！

【參考文獻】

[1]托和勒理.數學符號系統的形成與認識功能[J].東北師范大學學報自然科學版，1995（2）.

[2]肖為勝.關于積分符號的注記[J].大學數學，2009，25（3）.