與圓錐曲線(xiàn)焦點(diǎn)弦斜率有關(guān)的定值問(wèn)題再探究

薛燕

【摘要】圓錐曲線(xiàn)在高考數(shù)學(xué)中占據(jù)著舉足輕重的地位，而關(guān)于圓錐曲線(xiàn)定值問(wèn)題一直是高考命題中的一大熱點(diǎn).文[1]從2013年山東卷理科22題第（3）問(wèn)出發(fā)，推廣得到了圓錐曲線(xiàn)一個(gè)統(tǒng)一的性質(zhì).拜讀文[1]后，筆者深受啟發(fā)，將其結(jié)論進(jìn)行了深入推廣，研究了圓錐曲線(xiàn)的切線(xiàn)及特殊割線(xiàn)的斜率與焦點(diǎn)弦斜率之間的定值問(wèn)題，得到了一系列美妙的結(jié)論.

【關(guān)鍵詞】圓錐曲線(xiàn)；定值；斜率

一、問(wèn)題再現(xiàn)

橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，離心率為32，過(guò)F1且垂直于x軸的直線(xiàn)被橢圓C截得的線(xiàn)段長(zhǎng)為1.

（1）求橢圓C的方程；

（2）點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn)，連接PF1，PF2.設(shè)∠F1PF2的角平分線(xiàn)PM交C的長(zhǎng)軸于點(diǎn)M（m，0），求m的取值范圍；

（3）在（2）的條件下，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得l與橢圓C有且只有一個(gè)公共點(diǎn)，設(shè)直線(xiàn)PF1，PF2的斜率分別為k1，k2.若k≠0，試證明1kk1+1kk2為定值，并求出這個(gè)定值.

此題是2013年山東卷理科第22題，這道題以橢圓為載體，考查了直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的位置關(guān)系、兩點(diǎn)間距離公式、點(diǎn)到直線(xiàn)的距離公式和換元法等知識(shí)，同時(shí)考查了數(shù)學(xué)探究能力.題目設(shè)計(jì)新穎，內(nèi)涵豐富，是研究性學(xué)習(xí)的好素材.文[1]對(duì)第（3）問(wèn)進(jìn)行了推廣，得到以下結(jié)論.

定理1 設(shè)橢圓C：x2a2+y2b2=1（a>b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是橢圓C上除長(zhǎng)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn).連接PF1，PF2，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與橢圓C相切，設(shè)直線(xiàn)PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值-2a2b2.

定理2 設(shè)雙曲線(xiàn)C：x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的左、右焦點(diǎn)分別為F1，F(xiàn)2，點(diǎn)P是雙曲線(xiàn)C上除實(shí)軸端點(diǎn)外的任一點(diǎn).連接PF1，PF2，過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與雙曲線(xiàn)C相切，設(shè)直線(xiàn)PF1，PF2的斜率分別為k1，k2，若k≠0，則1k·k1+1k·k2為定值2a2b2.

上述兩個(gè)定理亦可以推廣到拋物線(xiàn)，得到以下結(jié)論.

定理3 設(shè)拋物線(xiàn)C：y2=2px（p>0）的準(zhǔn)線(xiàn)交x軸于F1，焦點(diǎn)為F2.點(diǎn)P是拋物線(xiàn)C上除頂點(diǎn)外任一點(diǎn).過(guò)點(diǎn)P作斜率為k的直線(xiàn)l，使得直線(xiàn)l與拋物線(xiàn)C相切，則1k·kPF1-1k·kPF2為定值1.

二、探究推廣

探究1：以上三個(gè)定理揭示了圓錐曲線(xiàn)切線(xiàn)的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間存在定值關(guān)系.自然而然，我們會(huì)思考圓錐曲線(xiàn)割線(xiàn)的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間是否也存在某種定值關(guān)系呢？顯然，若是任意割線(xiàn)的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間很難找到定值關(guān)系.筆者借助TInspire CAS圖形計(jì)算器，將圓錐曲線(xiàn)的割線(xiàn)特殊化，探究過(guò)焦點(diǎn)的割線(xiàn)斜率與焦點(diǎn)弦的斜率之間是否存在某種定值關(guān)系呢？

探究2：因拋物線(xiàn)只有一個(gè)焦點(diǎn)，定理4、5不能在拋物線(xiàn)中推廣.但筆者覺(jué)得意猶未盡，再次思考，還有哪些特殊割線(xiàn)的斜率與焦點(diǎn)弦的斜率存在定值關(guān)系呢？通過(guò)借助TInspire CAS圖形計(jì)算器，在圖形中拖動(dòng)割線(xiàn)l的位置，考慮用準(zhǔn)點(diǎn)（規(guī)定圓錐曲線(xiàn)的準(zhǔn)線(xiàn)與對(duì)稱(chēng)軸的交點(diǎn)叫準(zhǔn)點(diǎn)）代替焦點(diǎn)，研究當(dāng)割線(xiàn)經(jīng)過(guò)圓錐曲線(xiàn)準(zhǔn)點(diǎn)時(shí)的情況，是否存在割線(xiàn)斜率與焦點(diǎn)弦斜率之間的定值關(guān)系呢？

定理6 設(shè)圓錐曲線(xiàn)Γ（焦點(diǎn)在x軸）的離心率為e，焦點(diǎn)F所對(duì)應(yīng)的準(zhǔn)點(diǎn)為G（規(guī)定在橢圓或雙曲線(xiàn)中左（右）焦點(diǎn)對(duì)應(yīng)左（右）準(zhǔn)點(diǎn)），斜率為k（k≠0）的直線(xiàn)l經(jīng)過(guò)圓錐曲線(xiàn)Γ的準(zhǔn)點(diǎn)G，并交圓錐曲線(xiàn)Γ于P，Q兩點(diǎn)，則1e2-k2·kkPF-kkQF為定值2.

上述定理證明方法與定理4類(lèi)似，限于篇幅，不贅述.

探究3： 上述定理研究了割線(xiàn)經(jīng)過(guò)準(zhǔn)點(diǎn)的情況.固然，焦點(diǎn)和準(zhǔn)線(xiàn)是圓錐曲線(xiàn)最本質(zhì)的兩個(gè)幾何要素，而類(lèi)焦點(diǎn)、類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)知識(shí)為我們探索圓錐曲線(xiàn)的性質(zhì)提供了一個(gè)新的視角.筆者運(yùn)用類(lèi)焦點(diǎn)、類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)的知識(shí)將上述定理6又作了進(jìn)一步推廣.

我們將點(diǎn)F（t，0）、直線(xiàn)l：x=a2t稱(chēng)為橢圓x2a2+y2b2=1（a>b>0）和雙曲線(xiàn)x2a2-y2b2=1（a>0，b>0）的類(lèi)焦點(diǎn)、類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)（橢圓中0<|t|a），相應(yīng)的點(diǎn)Ga2t，0稱(chēng)為類(lèi)準(zhǔn)點(diǎn)；將點(diǎn)F（t，0）、直線(xiàn)l：x=-t（t>0）稱(chēng)為拋物線(xiàn)y2=2px（p>0）的類(lèi)焦點(diǎn)、類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)，相應(yīng)的點(diǎn)G（-t，0）稱(chēng)為類(lèi)準(zhǔn)點(diǎn).

定理7 已知定點(diǎn)F和定直線(xiàn)l是圓錐曲線(xiàn)Γ（焦點(diǎn)在x軸）的一對(duì)類(lèi)焦點(diǎn)和類(lèi)準(zhǔn)線(xiàn)，過(guò)類(lèi)準(zhǔn)點(diǎn)G作斜率為k（k≠0）的割線(xiàn)交圓錐曲線(xiàn)Γ于P，Q兩點(diǎn)，則

（1）當(dāng)圓錐曲線(xiàn)Γ為橢圓時(shí)，1b2t2-a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（2）當(dāng)圓錐曲線(xiàn)Γ為雙曲線(xiàn)時(shí)，1b2t2+a2（a2-t2）k2·kkPF-kkQF為定值2ab；

（3）當(dāng)圓錐曲線(xiàn)Γ為拋物線(xiàn)時(shí)，1p-2tk2·kkPF-kkQF為定值2p.

三種圓錐曲線(xiàn)統(tǒng)一的定義（平面內(nèi)到定點(diǎn)與定直線(xiàn)距離的比為常數(shù)e的點(diǎn)的軌跡）揭示了它們內(nèi)在本質(zhì)聯(lián)系；而對(duì)三種圓錐曲線(xiàn)如法炮制的研究方法，部分類(lèi)似相通的幾何性質(zhì)正是內(nèi)在聯(lián)系顯現(xiàn)的外在統(tǒng)一.圓錐曲線(xiàn)內(nèi)在的和諧統(tǒng)一決定了它們還有更多優(yōu)美的性質(zhì)等待我們?nèi)ヌ骄颗c挖掘.

【參考文獻(xiàn)】

[1]王鋒峰，戚有建.關(guān)于2013年山東卷理科壓軸題的思考[J].數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)與研究，2014（6）.