巧合還是必然

蘆洪興

2014年泰州市中考數學壓軸題第26題，是以雙曲線為背景的一道綜合題，題目如下：

平面直角坐標系xOy中，點A，B分別在函數y1=4x（x>0）與y2=-4x（x<0）的圖像上，A，B的橫坐標分別為a，b.

（1）若AB∥x軸，求△OAB的面積；

（2）若△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且a+b≠0，求ab的值；

（3）作邊長為3的正方形ACDE，使AC∥x軸，點D在點A的左上方，那么，對大于或等于4的任意實數a，CD邊與函數y1=4x（x>0）的圖像都有交點，請說明理由.

（備用圖）

從對學生解答本題的最后情況來看，第（1）問解決比較順手，主要考查雙曲線解析式中比例系數k的幾何特征：由雙曲線y=kx（k≠0）上任意一點A分別向x軸和y軸作垂線，垂足分別為點B、點C，則S矩形ABOC=k，S△ABO=S△ACO=k2.

解 （1）如圖2，設AB交y軸于C，連接OA，OB.

∵AB∥x軸，∴AB⊥y軸于點C.

∴S△OAC=12×|4|=2，S△OBC=12×|-4|=2，S△OAB=S△OAC+S△OBC=4.

千萬別小看第（2）問，條件是大家比較熟悉的情境：△OAB是以AB為底邊的等腰三角形，且僅有一種情況，就是OA=OB.但就是這樣一個看似簡單，下手也比較容易的問題，學生感覺比較棘手，解答不順的原因是利用OA=OB和a+b≠0如何得出ab的值.因此有相當一部分學生在第（2）問開始遇到障礙，放棄解答.

但是，從我調查統計后的情況看，有一部分學生得到了正確的答案，但是他們的思考過程有問題，或者僅僅是巧合.他們的思考過程如下：

如圖3，設點A（a，4a），點B（b，-4b），當OA=OB且a+b≠0時，OA⊥OB.

由點A（a，4a）可得直線OA的解析式為y=4a2x，

由點B（b，-4b）可得直線OB的解析式為y=-4b2x.

根據OA⊥OB可得4a2·-4b2=-1，解得ab=±4.

因為a>0，b<0，所以ab=-4.

縱觀整個思考過程，學生的思維還是積極的，尤其是運用了初中知識不需要掌握的一個重要結論：平面內的互相垂直的兩根直線y1=k1x+b1，y2=k2x+b2，則k1·k2=-1.學生也是有猜想和發現的，就是當OA=OB且a+b≠0時，OA⊥OB.有一個最大的漏洞就是：當OA=OB且a+b≠0時，OA⊥OB 成立嗎？反過來，當OA⊥OB時，OA=OB且a+b≠0成立嗎？

下面我們就來探究上述兩個問題：

問題1：點A，B分別在函數y1=4x（x>0）與y2=-4x（x<0）的圖像上，A，B的橫坐標分別為a，b.當OA=OB且a+b≠0時，OA⊥OB是否成立？

如圖4，作出以OA或OB為半徑的⊙O，作出雙曲線y2=-4x在第四象限的另外一支，⊙O與雙曲線y1=4x和y2=-4x分別有交點E，D，C.顯然，當OE=OB且a+b=0時，即如圖中的B，E兩點，此時B，E兩點關于y軸對稱，同樣圖中的A，D關于x軸

對稱，故∠1=∠2，∠5=∠4.

由圖中的E、C兩點關于x軸對稱可知∠3+∠4=∠5+∠6，

故∠3=∠6.

由圖中的雙曲線y1=4x上的E，A兩點關于直線y=x對稱可知，∠2=∠4，故∠1=∠2=∠5=∠4.

由圖中的雙曲線y2=-4x上點B，C關于原點O對稱可知，∠1+∠2+∠3+∠4+∠5+∠6=180°，故∠1+∠2+∠3=90°，即OA⊥OB.

從圖中還可以發現：OA⊥OC，OD⊥OE.

問題1告訴我們：關于y軸（或x軸）對稱的兩支雙曲線上分別取一點，如果這兩點到原點的距離相等，且橫坐標不互為相反數，則這兩點與原點的連線互相垂直.

問題2：點A，B分別在函數y1=4x（x>0）與y2=-4x（x<0）的圖像上，A，B的橫坐標分別為a，b.當OA⊥OB時，OA=OB且a+b≠0是否成立？

借助于圖3學生的思考過程可以發現，當OA⊥OB時，ab=-4.如果取a=2，b=-2，則ab=-4，此時a+b=0.

由點Aa，4a，Bb，-4b可得OA2=a2+16a2，OB2=b2+16b2.

因為ab=-4，故a2=16b2，b2=16a2，所以OA2=OB2，OA=OB.

問題2告訴我們：關于y軸（或x軸）對稱的兩支雙曲線上分別取一點，如果這兩點與原點的連線互相垂直，則這兩點到原點的距離必相等，但橫坐標可能互為相反數，也可能不互為相反數.

其實，解決問題（2），學生只要會利用OA=OB這個條件進行等式變形，完全可以繞開上述問題，就可以順利解決.

過程如下：由點A（a，4a），B（b，-4b）可得OA2=a2+16a2，OB2=b2+16b2.

因為OA=OB，OA2=OB2，所以a2+16a2=b2+16b2.

移項變形得：（a2-b2）+16（b2-a2）a2b2=0，（a2-b2）1-16a2b2=0.

因為a+b≠0，a≠b，故a2-b2≠0，所以1-16a2b2=0，a2b2=16，ab=±4.

因為a>0，b<0，所以ab=-4.

至于問題（3），只要作出符合題意的正方形，說明當a≥4時CD邊與函數y1=4x（x>0）的圖像的交點在邊CD上，或者直接說明交點的縱坐標在C，D兩點的縱坐標之間，其實是比較代數式大小的問題，是代數推理，不贅述了.

一個解題漏洞，引出兩個猜想，對這些猜想的處理，如果漫不經心，或者不深入研究，教師輕易判斷學生的思維方向錯誤，是扼殺學生創造性思維的行為，是不負責任的行為.教師要善于抓住學生解題中的漏洞，幫助學生提高思維的深刻性、系統性、全面性，切不可草率了事.說到底，要以學生為主體，學生的想法不成熟，教師幫助指導成熟.這樣，學生學習數學的興趣就完全可以激發起來，學生學習數學思維積極了、思維深刻了、思維活躍了，不正是數學教師教數學的根本目的嗎？