莫入“數形結合”的誤區

司春炎

數學研究的對象是現實世界中的數量關系和空間形式.作為中學數學極為重要的思想方法——“數形結合”，它把代數式的精確刻畫和幾何圖形的直觀描述結合起來，有利于幾何問題代數化，代數問題幾何化，進而促使學生把抽象思維和形象思維有機結合起來，從而使得復雜問題獲得簡單的解法.但在實際操作中，學生常因方法不當導致錯誤百出.因此，本文結合具體案例，談談學生在“數形結合”時常常出現的誤區.

誤區一：“形”有余而“數”不足

圖 1例1 拋物線y2=8x與圓（x-a）2+y2=4沒有公共點.求實數a的取值范圍.

分析及解 這是一道很容易讓考生犯錯誤的題.有學生是這樣解的：如圖1，當a<-2時，圓與拋物線顯然沒有公共點；

當a>0時，由

y2=8x（x-a）2+y2=4x2+8-2ax+a2-4=0（*）.

原題等價于方程（*）沒有實數根，

∴Δ<0，得a>52.

綜上，當a∈-∞，-2∪52，+∞時，該圓與拋物線沒有公共點.

僅從解法上看，該題好像沒問題.但在上述解法中，其實是“形”有余而“數”不足，所畫的圖形是不正確的（如果正確畫圖，圓與拋物線只能相切于拋物線的頂點）.

正確解法：圓心A（a，0）在y軸左側時，由圖可知當a<-2，圓與拋物線沒有公共點.

圓心A（a，0）在y軸右側時，作圖無法精確，需要用計算的方法.

設拋物線上任一點P（x，y），此時等價于PA>2對x≥0恒成立.

∴PA2=（x-a）2+y2=（x-a）2+8x=x-a-42+8a-16>4對x≥0恒成立，

當a-4>0，即a>4時， 得8a-20>0，解得a>52， ∴a>4；

當a-4≤0，即a≤4時， 得0-a-42+8a-20>0，此時為2

∴a>2.綜上得：a<-2或a>2時，該圓與拋物線沒有公共點.

啟示：以上例子說明，對數據的科學分析，是用數形結合方法正確解題的基礎.要注意畫圖的準確性、完整性和對圖形觀察的細致，并注意結合數學運算來完成.否則，忽視“數”去孤立地研究“形”，僅憑隨意的幾何作圖，數據分析不足，常會導出錯誤的答案.

誤區二：“數”有余而“形”不足

圖 2例2 已知函數f（x）=ln（x+1）-2x的零點在區間（k，k+1），k∈Z，則k=.

分析及解 不少同學是這樣解的：發現f（1）=ln2-2<0，f（2）=ln3-1>0，且f（x）連續，由零點存在定理，f（x）的零點在區間（1，2）內，∴k=1.

答案果真如此嗎？ 其實問題出在“數”有余而“形”不足，只顧埋頭算“數”，卻忽視了研究“形”.

實際上，f（x）=0即為ln（x+1）=2x，即等價于函數y=ln（x+1）的圖像和函數y=2x的圖像的交點橫坐標在什么區間內，由圖2易知，這兩個圖像共有兩個交點，y軸右邊的點的橫坐標由上可知在區間（1，2）內，而在區間（-1，0）內也有一交點，而這點正是上面錯誤解法中所遺漏的解，∴正確答案應是k=1或-1.

啟示：解題時若“數”有余而“形”不足，未能對圖形的變化情況進行全面的分析，常使解法不夠全面，容易產生増解、漏解或重解.

誤區三：強行“結合”果難料

例3 設a>0，且a≠1，試求方程loga（x-ak）-12loga（x2-a2）=0有解時k的取值范圍.

圖 3分析及解 本題很多參考資料都將它作為一條經典數形結合的題目來解決：

原方程等價于x-ak=x2-a2（其中x-ak>0，x2-a2>0）.

即等價于直線y=x-ak在x軸上方的部分與雙曲線x2a2-y2a2=1在x軸上方的部分這兩個函數圖像有交點，由圖3可得：

-a<-ak<0或-ak>a.∴0

以上解法雖然無誤，但作圖要求頗高，還要注意其漸近線方程的斜率，使用“數形結合”并不簡潔，學生不易得到正確答案.

實際上，原方程即為： （x-ak）2=x2-a2x-ak>0x2-a2>0∴x=a+ak22k>ak，∴0

啟示：用“數形結合”思想指導解題，應該達到簡潔明快的效果.如果達不到這種效果，甚至造成解法更為煩瑣，不問解題是否需要，強行結合搞形式主義，那就無異于畫蛇添足，失去了“數形結合”的意義.

形是數的翅膀，數是形的靈魂.“數形結合”貴在結合，我們要充分發揮兩者的優勢，既要關注“形”的直觀性，又要關注“數”的準確性，莫入“數形結合”的誤區，將“形助數”與“數定形”充分結合，做到真正的數形結合，從而簡化問題的求解.