一道聯(lián)賽不等式的兩種證明及其加強(qiáng)思路

李羽航　程梓兼

剛剛落幕的2014年全國(guó)高中數(shù)學(xué)聯(lián)賽中，A卷加試第一題是一道多年不見的三元輪換對(duì)稱不等式，在此，給出該題的兩種與標(biāo)準(zhǔn)答案不同的證明方法，并且給出了此不等式的加強(qiáng).

原題 已知a，b，c∈R，a+b+c=1，abc>0，證明：ab+bc+ac

分析 經(jīng)過嘗試可知當(dāng)a=12，b=12，c=0時(shí)，左式和右式相等.由此等號(hào)成立條件和其三元輪換對(duì)稱的形式，想到利用舒爾不等式.而使用舒爾不等式要求a，b，c>0，所以要進(jìn)行分類討論.

∴加強(qiáng)命題得證.

對(duì)于不等式的加強(qiáng)，需要綜合各種各樣的方法，例如文中所使用的待定系數(shù)法，另外綜合運(yùn)用了函數(shù)的知識(shí).不等式的加強(qiáng)是一個(gè)很有意思的過程，需要很多的智慧和推敲.