構造函數在導數問題中的應用

張文亭

導數是研究函數性質，培養學生數學能力的一個重要工具.而導數與函數結合的問題一直是高考數學中的熱點和難點，常會出現在最后的壓軸題中.在解決這類問題時，很多時候需要去通過引進輔助函數來解題，通過巧妙地構造函數，可以把原來的問題轉化為研究輔助函數的性質，能使復雜的問題轉化為簡單的問題，從而順利地解決相關問題.本文準備結合具體事例去說明構造函數在解決各類導數問題中的應用.

一、構造函數求解與不等式相關的問題

評注 在解決函數類不等式問題時，構造輔助函數比較容易，一般是通過直接移項的方法，將不等式的一邊變為0，將另一邊的函數作為輔助函數去研究，方法1就是這種構造方式.但這種構造方式還需要討論參數的范圍，對于相對復雜的函數這種構造方式就有一定的局限性.因此針對本例還可采用更優化的方法，根據題目要求的參數范圍，先分離變量再構造函數去研究，這樣構造出的函數不含參數，可以避免討論，更直接地解出所求參數的范圍.

例2 （2014—2015蘇州期末測試）已知函數f（x）=ax2+bx，g（x）=lnx.當b=-1時，若f（x）≥g（x）在1e，n上恒成立（n為正常數），求a的取值范圍.

評注 本題主要考查運用導數研究函數與方程的問題，先要將函數圖像有交點轉化成方程根的問題，再通過構造函數去研究其性質.

四、通過構造函數來研究綜合的函數問題

一些高考函數的綜合解答題，常常是由一些基本題型演變而成，也常常需要靈活應用一些基本函數和函數模型，掌握好基本的解題思路，由此出發易得解題突破口.

評注 本題是比較綜合的函數問題，考查了導數問題的各個方面，問題（3）需要去構造函數，本題雖然只含一個參數，但無法直接分離變量，采用直接構造函數去分析解答更容易解決問題.

總之，構造函數具有較強的靈活性和創新性，在導數的綜合問題中也有著十分廣泛的應用.在解決導數問題時，不能局限的直接移項去構造函數，需要仔細觀察和分析題目的特點，發現條件中的關系，靈活地去構造符合題目特點又容易解決問題的函數，這樣必定事半功倍，最優化地解決問題.