對偶思想及其在初等數(shù)學中的指導作用

梁俊飛　梁雪

【摘要】 本文通過對高等幾何中的對偶原則的分析探究，提煉了對偶思想的概念，然后討論了對偶思想對學科的發(fā)展、解題以及對教師教學的指導作用.

【關鍵詞】初等數(shù)學；對偶思想；對偶元素

【中圖分類】O18；G642.0

在現(xiàn)代數(shù)學教學中，人們越來越重視數(shù)學思想的教學滲透，數(shù)學思想方法作為數(shù)學素質(zhì)教育的內(nèi)容已引起教育界的普遍關注和高度重視，它是聯(lián)系知識與能力的紐帶，對發(fā)展學生的數(shù)學能力，提高思維水平都具有十分重要的作用.本文將研究一種極具美感的一種數(shù)學思想，對偶思想.

1.對偶思想概述

我們將從高等幾何中的對偶原則出發(fā)，逐步闡述對偶思想的內(nèi)涵.

點與直線是射影平面上的基本元素，它們是射影平面中的一對對偶元素.在射影平面里設由點、直線及其相互結合的順序關系所組成的一個命題，將此命題中的各元素改為它的對偶元素，其結果形成另一個命題，這兩個命題叫作平面對偶命題.在射影平面里，如果一個命題成立，則它的對偶命題也成立，這就是高等幾何中的對偶原則.例如：

命題A：通過不同兩點必有一直線.

命題B：兩不同直線必有一交點.

命題A與命題B是一對對偶命題，命題A成立，由對偶原則，在射影平面里，命題B也成立.注意，對偶原則僅在射影平面上成立，原因在于點和直線在射影平面上是對等的，地位是平等的，是一對對偶元素，可以彼此互換.而在歐氏平面中，點與直線的地位不對等，不能構成一對對偶元素，于是在歐氏平面中，命題A成立，但命題B并不成立，對偶原則失效.

高等幾何里的對偶原則其實是對偶思想在具體學科中的體現(xiàn).可以看出，一個對偶問題，首先要有對偶元素，要成為對偶元素，需要這兩個元素的地位平等、可以互換，要有相似的性質(zhì)；其次，他們具有內(nèi)在的聯(lián)系.在解決數(shù)學問題中，當原問題難以得到解決或者解決方法很復雜時，我們可以考慮利用已知條件中元素的對偶元素來構造一個與之地位、作用、功能、性質(zhì)等完全相同或相似，彼此之間存在內(nèi)在的關聯(lián)的對偶式或直接利用對偶元素的等價性質(zhì)來解決問題的思想方法，稱為對偶思想.

通過對中學數(shù)學中對偶思想方法的研究，我們發(fā)現(xiàn)對偶思想在對學科的發(fā)展、解題、教師教學三個方面均有重要指導作用.

2.對偶思想對學科發(fā)展的促進作用

解析幾何把代數(shù)方程和曲線曲面等聯(lián)系了起來，這一創(chuàng)造是數(shù)學中最豐富最有效的設想之一.在很長的一段時間里，幾何與代數(shù)是各自發(fā)展的，互相分離或只有局部的聯(lián)系，就連偉大的數(shù)學家牛頓也堅持要區(qū)別數(shù)的運算和希臘人對于幾何物體的運算.直到費馬和笛卡爾時代來臨的時候，他們希望把幾何與代數(shù)結合起來，讓它們之間可以相互轉換，也就是要讓它們成為我們所說的對偶元素，這時才真正的將幾何與代數(shù)實質(zhì)性結合起來，促進了雙方的共同發(fā)展.

再舉一例——牛頓和萊布尼茲創(chuàng)立的微積分學.在微積分創(chuàng)立之前，其實已經(jīng)有很多數(shù)學家研究過已知物體移動的距離表示為時間的函數(shù)的公式，求物體在任意時刻的速度和加速度問題（微分問題），已知物體的速度求物體位移的問題（積分問題），也取得了很大的進展，但當時的數(shù)學家們只是把它們當成是兩個不同的問題在研究，沒有發(fā)現(xiàn)它們之間的內(nèi)在聯(lián)系.牛頓和萊布尼茲對微積分的主要貢獻就是發(fā)現(xiàn)微分與積分其實是一對對偶元素，它們其實是可以相互轉換的，這個發(fā)現(xiàn)促使了微積分的創(chuàng)立.如今的中學已經(jīng)開始學習一些初級的微積分了，如果教師從對偶的觀點、統(tǒng)一的觀點來講授微積分，而不是僅僅讓同學們死記一些公式可能會對學生掌握微積分思想產(chǎn)生更好的效果.

3.對偶思想對解題的指導作用

在解題中，我們可以利用對偶元素構造對偶式，再利用對偶元素之間的內(nèi)在聯(lián)系、兩個對偶式之間的協(xié)同作用，使得問題得到快速、巧妙的解答；或者利用對偶元素之間內(nèi)在等價性質(zhì)，使得原問題轉換為其對偶問題，從而使問題變得更容易解決.

4.對偶思想對中小學教師教學的指導作用

導入是我們的教學過程中一個很重要的步驟，很多時候教師會感覺導入很難設計，有了對偶思想的指導，我們經(jīng)常可以通過對偶元素來引入新課.在講課過程中，無論是新課還是習題課，適時地提及對偶，可以使學生發(fā)現(xiàn)數(shù)學知識之間不是孤立的，而是相互聯(lián)系的，知識之間存在著這樣的一種內(nèi)在的和諧.這樣不僅可以讓學生更好地掌握知識，還可以系統(tǒng)化所學知識，有利于日后的知識提取.進一步，還可以利用對偶思想培養(yǎng)學生的創(chuàng)造性思維.

數(shù)學是研究自然的科學，自然的和諧決定了數(shù)學的和諧，而數(shù)學的和諧也反過來印證了自然的和諧，對偶思想正揭示了這種和諧.本文通過對對偶思想的研究，認識到對偶思想不僅能夠指導解題，更能夠使得數(shù)學學習系統(tǒng)化.在教師的引導下，讓學生在中小學時代就接觸這種并不難理解，但卻充滿了美與和諧，且十分重要的對偶思想，對學生以后更好更深刻地認識數(shù)學是具有極其重要的意義的.

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