換元法及其在高中數學解題中的應用

趙金榮

學生在做高中數學題時，應將題目中的某個式子看作是一個整體，再用一個未知的變量取代這個式子，進而簡化該問題的解題過程，這種解題方法叫作換元法.在高中數學中，較為廣泛使用的方法之一即為換元法，學生可以利用換元法將一些復雜的數學題簡化，進而較為快捷簡便地解出該題目.學生在面對一些較為復雜的題目，選擇換元法時，應首先仔細觀察并理解該題的意思，在腦海中構思解題思路，思考如何利用換元法解出該題，只有這樣，才能充分發揮出換元法的作用.

1.換元法在解方程中的應用

在高中數學之中，方程占據著十分重要的位置，因此，學生在學習高中數學時，應當首先了解并掌握高中數學中的一種最為基本的題型，即解方程.

例1 求解方程x4+2x2+1x+x2+1x2=2的根.

首先變形原方程，可以得到等式：x2+1x2+x2+1x2=2，設m=x2+1x2，可得到等式：m2+m-2=0，該等式的兩個解分別為-2，1.

（1）當m=-2時，可得x2+1x2=-2，分式方程轉化為x2+2x+1=0，可得x1=x2=-1；

（2）當m=1時，可得x2+1x2=1，分式方程轉化為x2-x+1=0，該方程無解.

根據上述例題，我們可以看出，當解一些較為復雜的方程時，應當適當地利用換元法，將高次方程或者分式方程轉化為較為簡單的低次方程，再進行解答.該題中將復雜的高次方程轉化為較為簡單的一元二次方程，再解該一元二次方程，這種方法，使得高次方程的難度大大降低，進而簡化了解高次方程的步驟，使得做題的效率有所提高.

2.換元法在解決化簡問題中的應用

在高中數學題目中，學生經常會遇到化簡的問題，一般情況下，學生會利用方程兩邊擴大相同倍數、兩邊同時縮小相同倍數、合并同類項或者兩邊相互抵消等方法進行解題.在面對一些較為簡單的化簡問題時，可以使用上述方法解題；然而，高中數學的化簡題往往比較復雜，只利用上述方法通常不能將化簡問題解決.所以，高中教師在課堂上，傳授復雜的化簡問題如何解決時，應當引導學生利用換元法，將復雜問題簡單化，利用新的變量取代復雜的方程，進而使得學生能夠更加快捷地進行化簡，可以使學生的解題思路更加清晰.

例2 求3-1324-113-1322+1的值.

設m=3-132，m-32=-132，同時平方兩邊的等式，可得：m2-3m-1=0.于是可得原式=m4-11m2+1=m22-2m2+1-9m2

=m2-12-3m2=m2-1-3mm2-1+3m=0.

所以，可得該式的值為0.

根據上述例題可以知道，解決復雜的化簡問題時，選擇換元法，將原式中的一部分用新的變量替換掉，進而可以得到新的等量關系，再將該等量關系作為已知條件，代入到原式中進行化簡，可以使得復雜的化簡問題簡單化，可以使學生更加清晰、快捷地將原式進行化簡.

3.換元法在解不等式證明中的應用

對于高中學生來說，比較難理解、難掌握的數學題型之一就是不等式的證明題，該類題型是高中學生學習的難點，也是高中數學教育的重點.

例3 已知x-129+y+1216=1，求k在什么取值范圍，使得x+y-k>0恒成立？

使x-13=cosβ，y+14=sinβ，可得：x=1+3cosβ，y=-1+sinβ.將x與y的公式分別代入到不等式x+y-k>0之中，可得：3cosβ+4sinβ-k>0.進而可得：3cosβ+4sinβ>k.

又已知3cosβ+4sinβ=5sinβ+θ，故可得5sin（β+θ）>k，又因為|5sin（β+θ）|≤1，故當k<-5時，該等式恒成立.

根據上面的例題可以得出，將不等式中較為復雜的式子替換為較為簡單的變量，再將替換的變量代入至已知的不等式中去，可以得到一個新的不等式，再將得出的新的不等式作為已知條件，并利用這個已知條件，來證明題目中原不等式的關系，最終可以證明原不等式成立.利用換元法證明此類不等式，既能夠簡化證明題復雜的解題過程，還能夠使此類不等式證明題的解題思路更加清晰，還能夠使高中學生將不等式證明題的切入點準確、快捷地找出，進而使得不等式證明題變得更加簡單.

4.換元法在求函數最值問題中的應用

在解決函數最值的問題時，應首先將函數的取值范圍求出，再根據函數值與函數自變量的關系，進而解決函數最值的問題.然而，學生在平時的練習或考試時遇到的復雜函數最值問題，使高中學生不能快捷地解決此類問題.所以，當學生遇到函數最值問題時，教師應當及時指引學生利用換元法，對其進行求解，進而使得函數最值問題的難度極大地降低.

例4 已知函數關系式為y=x+1-x2，將該函數的最大值和最小值求出.

根據題中已知關系可知，該函數的定義域為1-x2≥0，進而可以求出該函數的定義域為-1≤x≤1，使sinβ=x，則可得β∈-π2，π2，故可得原函數的關系式：y=sinβ+1-sin2β=2sinβ+π4.

根據該題可得：β+π4∈-π4，3π4，因此，可以求得sinβ+π4的最大值為1，最小值為-22，最大值為1；故y的最小值為-1，最大值為2.

根據上述例題可得，對于較為復雜的數學關系求函數值域的問題，利用換元法可以將該問題簡單化，大大降低了函數取值范圍的難度，使學生更能自信地面對此類函數定義域與值域的問題.

對于高中數學問題來說，換元法是數學中相當重要的一種解題方法，它可以降低復雜的數學問題的難度，使得學生的做題效率有所增加.在實際的應用過程中，換元法的思想是十分關鍵的，通過將復雜方程轉化為簡單的變量，再進行求解，降低了題目的難度，也增強了學生的思維能力，同時增強了學生面對問題的自信心.