論換元法判斷復合函數(shù)的單調性

劉國發(fā)

【摘要】判斷函數(shù)的單調性有多種方法.關于復合函數(shù)，用“換元”思想，引進新變量，對其進行分解，利用分解后的簡單函數(shù)的單調性，可較易地判斷其單調性.

【關鍵詞】換元法；復合函數(shù)；單調性

函數(shù)的單調性是討論函數(shù)性質的核心內容.在對函數(shù)知識的學習過程中，判斷函數(shù)的單調性，主要采用三種方法：一是對較簡單的函數(shù)，直接應用函數(shù)單調性的定義（求差法）；二是應用導數(shù)的知識，通過對函數(shù)的導函數(shù)的符號的討論來判斷（求導法）；三是利用復合函數(shù)的知識進行判斷.本文擬建立“換元”思想，對復合函數(shù)引進一個或多個新變量時的單調性的判斷方法進行探討.

1.復合函數(shù)單調性判斷定理

判斷一個復合函數(shù)在某區(qū)間上的單調性或求出一個復合函數(shù)的單調區(qū)間主要根據(jù)如下定理：

若u=φ（x）在M上有定義，u∈N，y=f（u）在N上有定義，則

（1）如果u=φ（x）在M上單調遞增，y=f（u）在N上單調遞增，則y=f[φ（x）]在M上單調遞增；

（2）如果u=φ（x）在M上單調遞減，y=f（u）在N上單調遞減，則y=f[φ（x）]在M上單調遞減；

（3）如果u=φ（x）在M上單調遞增，y=f（u）在N上單調遞減，則y=f[φ（x）]在M上單調遞減；

（4）如果u=φ（x）在M上單調遞減，y=f（u）在N上單調遞增，則y=f[φ（x）]在M上單調遞減.

證明：（1）任取x1，x2∈M，∵u=φ（x）在M上單調遞增φ（x1）<φ（x2），又∵y=f（u）在N上單調遞增f[φ（x1）]

由x1，x2的任意性知，y=f[φ（x）]在M上單調遞增.

從上表可看出，外層函數(shù)y=f（u）、內層函數(shù)u=φ（x）、復合函數(shù)y=f[φ（x）]之間的增減性呈現(xiàn)出相互依存的內在規(guī)律性：若其中任意兩個函數(shù)的單調性相同，則第三個函數(shù)為增函數(shù)；若其中任意兩個函數(shù)的單調性相異，則第三個函數(shù)為減函數(shù).此規(guī)律可簡要地概括為“同增異減”.

2.定理的應用

根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷定理，對于一個復合函數(shù)y=f（x），引進中間變量u，通過換元法將其化為簡單函數(shù)的復合，且當所選擇的數(shù)學代換式x=φ（u）及y關于u的函數(shù)y=f（u）的單調性較易判斷時，即可知道函數(shù)y=f（x）的單調性.

例1 討論函數(shù)y=2x+1-x+1的單調性.

解 由1-x≥0知，函數(shù)y的定義域為：x∈（-∞，1].

作代換：1-x=u，（u≥0），則

x=1-u2，當u≥0時，x=1-u2為減函數(shù).

此時，y=2（1-u2）+u+1=-2u-142+258.

（1）當0≤u≤14時，y=-2u-142+258是增函數(shù)，

此時，0≤1-x≤116，即1516≤x≤1.

所以，當1516≤x≤1時，函數(shù)y=2x+1-x+1是減函數(shù).

（2）當u≥14時，y=-2u-142+258是減函數(shù)，

此時，1-x≥116，即x≤1516.

所以，當x≤1516時，函數(shù)y=2x+1-x+1是增函數(shù).

由（1）、（2）知，函數(shù)y=2x+1-x+1的單調增加區(qū)間是x∈（-∞，1516]，單調減少區(qū)間是1516，1.

根據(jù)復合函數(shù)單調性的判斷定理判斷函數(shù)的單調性，其具體步驟可歸納為：

（1）確定函數(shù)y=f（x）的定義域，恰當選擇代換式x=φ（u），確定u的取值范圍，并判斷x=φ（u）的單調性；

（2）用代換式x=φ（u）將函數(shù)y=f（x）進行換元，判斷換元后的函數(shù)y=f（u）的單調性，并根據(jù)y=f（u）關于u的單調區(qū)間確定x的取值范圍；

（3）根據(jù)x=φ（u），y=f（u）的單調性的異同，判斷y=f（x）的單調性.

【參考文獻】

[1]杜曉梅.關于復合函數(shù)相關概念的剖析[J].濟南職業(yè)學院學報，2013，5.

[2]盧翼飛.試論復合函數(shù)單調性的判斷方法[J].中國校外教育（理論），2008（3）.