關于對數求導法的兩點注記

梁素梅

【摘要】本文通過對數求導法的講解，提出了許多老師和學生在利用對數求導時，容易忽略的兩個問題，找出了問題產生的根源，給出了相應的兩點注記，可給學生利用對數求導法時帶來極大的方便.

【關鍵詞】對數求導；冪指函數；復雜函數

一、對數求導法的適用對象

在《高等數學教程》導數教學一章中，我們發現有些題目它并不能用公式直接求導，而是需要應用對數求導法才可以求出其導數.在此，先介紹一下對數求導法的適用對象.對于特殊類型函數y=u（x）v（x） （它既不是指數函數，又不是冪函數，稱為冪指函數）或若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構成的比較復雜的函數.通常采用取對數化乘、除為加、減，化乘方、開方為乘積，變成隱函數，然后按隱函數求導法則求函數的導數，此方法稱為對數求導法.因此上述兩類函數就是其適用對象.

二、對數求導方法

對數求導法有如下兩個步驟：

第一步：將適用的函數兩邊取對數（并通過對數函數的性質將其化簡為簡單式子，乘、除變加、減，乘方變倍數）.

第二步：利用隱函數求導法繼續對其求導.

三、實例解析

例1 y=x1-x1+x.

解 此題屬于若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構成的比較復雜的函數采用對數求導較簡單.

1.將函數兩邊取對數，得lny=ln|x|+12ln1-x-12ln1+x .

2.上式兩邊關于x求導得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x） ，

即y′=y1x-11-x2=x1-x1+x1x-11-x2.

例2 y=xsinx.

解 此題屬于典型的冪指函數（冪在變，指數也在變），采用對數求導較簡單.

1.將函數兩邊取對數，得lny=sinxlnx.

2.兩邊關于x求導得：1yy′=cosxlnx+sinxx.

所以y′=y（cosxlnx+sinxx）=xsinxcosxlnx+sinxx

從以上兩個例子可以看出，利用對數求導法求這兩類函數的導數時，確實非常的簡單、方便.同時，我們大家也不難發現做題中涉及如下兩個方面：1.對數函數的真數需是正數，所以兩邊的對數函數的真數需加上絕對值.2.兩邊的函數需取對數.在平時的教學中，也經常有學生提出如下問題：1.取對數時能不能把絕對值符號去掉？2.能不能取其他正數為底的對數函數？

針對這兩個問題，經過思考后，給出解答：

解答1：因為（ln|x|）′=1x，x>0-1-x，x<0=1x 和（lnx）′=1x，求導后的結果是一樣的，為避免出錯，取對數時是可以把絕對值符號去掉，簡化計算流程.

解答2：如果取以a為底的loga 的對數，而不是自然對數，以例2為題，則有logay=sinxlogax，1y1lnay′=cosxlogax+sinxx1lna，y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）.所以是可以取其他正數為底的對數函數的，但是取自然對數沒有多余的1lna的出現，簡化了計算流程.建議取自然對數，方便做題.

并且，再從這兩個解答對兩個實例進行分析.

例3 y=x1-x1+x.

解 此題屬于若干個因子通過乘、除、乘方和開方所構成的比較復雜的函數采用對數求導較簡單.

1.將函數兩邊取對數，得lny=lnx+12ln（1-x）-12ln（1+x）.

2.上式兩邊關于x求導得：1yy′=1x-12（1-x）-12（1+x）

即y′=y（1x-11-x2）=x1-x1+x（1x-11-x2）.

例4 y=xsinx.

解 此題屬于典型的冪指函數（冪在變，指數也在變），采用對數求導較簡單.

1.將函數兩邊取對數，得logay=sinxlogax.

2.兩邊關于x求導，得1y1lnay′=cosxlogax+sinxx 1lna，

所以y′=xsinx（cosxlnx+sinxx）

同時，從這兩個解題中，我們總結成如下兩個注記：

注記1：對數求導法中，可不加絕對值符號.

注記2：對數求導法中，取自然對數較簡單.

【參考文獻】

[1]同濟大學數學系編.高等數學（第六版）上冊[M].北京：高等教育出版社，2007：1-88.

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[3]劉廣軍，楊春華，耿玉霞.高等數學教程 [M].長春：吉林大學出版社，2010：42-43.