用二重積分計算空間立體體積的新方法

王兆娟

【摘要】探討一種新的用二重積分計算空間立體體積的簡便方法，在不作立體圖形的情形下，只需要通過問題的已知條件找出被積函數和積分區域，再由二重積分的幾何意義最終得到空間立體的體積，從而解決了因空間立體圖形難以描繪，而難以用二重積分計算空間立體體積的問題.

【關鍵詞】二重積分；計算；空間立體體積

【基金】國家自然科學基金（11326114、11401244），江蘇省高校自然科學研究面上項目（14KJB110003）.

一、引 言

通過二重積分的幾何意義，我們知道，當f（x，y）≥0時，二重積分Df（x，y）dxdy在幾何上表示為以z=f（x，y）為曲頂，D為底的曲頂柱體的體積.因此，我們可以根據二重積分的幾何意義計算空間立體的體積.在具體解題時，我們可以通過畫出空間立體圖形，找到被積函數f（x，y）和積分區域D，然后把二重積分化為累次積分計算，最終得到空間立體的體積.但是，這種解題方法的缺點是當空間立體的圖形難以描繪時，就很難確定被積函數f（x，y）和積分區域D，從而無法計算空間立體的體積.

本文將探討一種新的簡單方法計算空間立體體積，其思想在于不用畫出空間立體圖形，只需要通過已知條件找出被積函數f（x，y）和積分區域D，再由二重積分的幾何意義得到空間立體的體積為二重積分Df（x，y）dxdy.在現有的研究中，文[2]提出的不作圖解題思想與本文相似，但是本文的具體方法與[2]不同，并且[2]的方法存在錯誤和欠缺，后面本文將通過具體實例驗證和說明.

二、方法討論

根據絕大多數題目給出的已知條件，可以把空間立體體積的計算分為兩種情況：

1.圍成立體體積的方程中只有一個含z的方程（z=0除外）

在這種情形下，把只有一個含有z的方程，改寫成z=f（x，y）（f（x，y）≥0）的形式，那么二元函數z=f（x，y）就是該立體的頂，從而得到計算該立體體積的二重積分的被積函數就是f（x，y）.

下面，我們確定積分區域，把不含z的方程在xOy直角坐標平面上圍成的區域，記為D.若D是有界區域，則D就是積分區域.若D是無界區域，則需進一步令含有z的方程（z=0除外）中的z為0，從而得f（x，y）=0.方程f（x，y）=0與不含z的方程在xOy直角坐標平面上圍成的區域必有界，這個有界區域就是積分區域.

2.圍成立體體積的方程中有兩個含z的方程（z=0除外）

在這種情形下，把兩個含有z的方程，改寫成

z=f（x，y）（f（x，y）≥0），z=g（x，y）（g（x，y）≥0）

的形式，那么所求的立體體積，就是具有相同底的分別以z=f（x，y），z=g（x，y）為頂的立體體積之差.

若立體只是由兩個含有z的方程圍成，那么積分區域為兩個方程消去z后的方程在xOy直角坐標平面上圍成的閉區域D.若在積分區域D上f（x，y）≥g（x，y）≥0，則得到計算該立體體積的二重積分

D[f（x，y）-g（x，y）]dxdy.

若圍成立體體積的方程中還有不含z的方程，那么不含z的方程在xOy直角坐標面上圍成的有界區域D就是積分區域.若在積分區域D上f（x，y）≥g（x，y）≥0，則得到計算該立體體積的二重積分

D[f（x，y）-g（x，y）]dxdy.

若f（x，y）=g（x，y）在xOy直角坐標面上把積分區域D分為D1和D2，在D1上f（x，y）≥g（x，y）≥0，在D2上0≤f（x，y）≤g（x，y），則得到計算該立體體積的二重積分

D1[f（x，y）-g（x，y）]dxdy+D2[g（x，y）-f（x，y）]dxdy.

三、舉例說明

為了更好地說明本文用二重積分計算空間立體體積方法的思路，下面舉例說明：

例 計算由z=1+x+y，x+y=1，x=0，y=0，z=0所圍成的立體體積.

分析 按照常規方法，首先進行作圖，如圖1所示.

從該圖形可以看出立體的頂為z=1+x+y，底為xOy直角坐標面上的區域，如圖2所示.

所以該立體體積可以用二重積分表示為：

V=D（1+x+y）dxdy，

其中D={（x，y）|0≤x≤1，0≤y≤1-x}.通過計算得到該立體體積為56.

由此可見，利用通常的方法，只要作出了圖形，一般就很容易計算空間立體體積.但是，當有些圖形難以直接畫出，就很難計算空間立體體積.下面利用本文給出的方法，不作圖計算空間立體體積.

解 由于已給的方程中只有z=1+x+y中含有z（z=0除外），故取1+x+y作為被積函數.

積分區域D是由不含有z的方程x+y=1，x=0，y=0在xOy直角坐標面上圍成的有界閉區域，如圖2所示.

四、小 結

本文探討一種用二重積分計算空間立體體積的簡便方法，在不作立體圖形的情形下，只需要通過問題的已知條件找出被積函數f（x，y）和積分區域D，再由二重積分的幾何意義就可以得到空間立體體積為二重積分Df（x，y）dxdy，從而解決了因空間立體圖形難以描繪，而難以計算空間立體體積的問題.如果圍成空間立體的曲面方程為本文中的情形，就可以用本文的方法求出立體的體積.本文提出的新方法改正了其他文獻相似思想方法的錯誤和欠缺，該方法可以為廣大師生學者解決該類問題提供新的解題思路.