學生化歸轉化思想掌握情況的調研及教學啟示

程偉

為了了解中學生對化歸轉化思想的解題特點，特精心篩選試題并設計了試題卷，要求學生根據自己的思考進行解答，時間不限，所有草稿均寫在調查卷.本文從選題緣由、調研目的、解題思路等多方面對調研結果做了細致的闡述，深入地了解了學生對化歸轉化思想的掌握程度和困難所在，并給出了解題教學中貫穿化歸轉化思想的教學建議.

1.調研試題

問題1：設函數f（x）=13x3-a+12x2+ax-a，a∈R.若方程f（x）=0有三個不同的實根，求a的取值范圍.

思路 方式①：如圖，若方程f（x）=0有三個不同的實根，則函數f（x）與x軸有三個不同的交點.所以f（x）的兩個極值點必須一正一負.即f（1）·f（a）<0，從而-16a3+12a2-a-a2-16<0，解得-131時，f（a）<0f（1）>0，求出此a范圍；當a<1時，f（a）>0f（1）<0，求出此a范圍，合在一起得a范圍.

問題2：函數f（x）=x2eax，其中a∈R.若過點A（1，0）能作f（x）的三條切線，求實數a的取值范圍.

思路 如圖，若過點A（1，0）能作f（x）的三條切線，則必有不同的三個切點P，即可得到關于x0的方程有三個解.于是f′（x）=2xeax+ax2eax，設切點為P（x0，f（x0）），則切線l切：y-y0=（2x0+ax20）eax0（x-x0），因為切線過點A（1，0），所以-x20eax0=（2x0+ax20）eax0（1-x0），化簡得x0[ax20+（1-a）x0-2]=0，此方程應有三個實數根，所以（1-a）2-8a>0，解得a<-46或a>46.

問題3：假設你家訂了一份報紙，送報人可能在早上6：30～7：30之間把報紙送到，你父親離開家去工作的時間在早上7：00～8：00之間，問你父親在離開家前能得到報紙（記為事件A）的概率是多少？

思路 記報紙送到時間為x，父親離家時間為y，則6.5≤x≤7.57≤y≤8，于是當x≤y時事件A發生，由右圖可知，事件A發生的概率為P（A）=1-12·12·12=78.

2.選題緣由

選擇以上三題的目的在于了解學生對化歸轉化思想的運用情況，以及學生是通過怎樣的分析發現和運用化歸轉化這一解題策略的，更具體地說，具備什么樣的思維和知識才能合理有效地進行化歸轉化，希望由此能得到一些教學上的思考和啟發.這里問題1～3的等價轉化過程如下：

問題1：f（x）=0有三個實根f（x）與x軸有三個不同的交點 f（1）·f（a）<0；

問題2：f（x）有三條切線有三個切點關于切點橫坐標的方程有三個根；

問題3：概率問題線性規劃問題.

此三個問題均體現了化歸轉化思想，問題1主要想考查學生運用零點存在定理結合數學圖形進行等價轉化的能力；問題2主要想考查學生通過對問題分析概括的能力，從而促進化歸轉化；問題3主要想考查學生在不同知識領域間的化歸轉化能力.

3.調研結果

（1）問題1的解答效果很好，主要表現在學生的解題過程基本上呈現了有效的函數圖像，結合圖像分析后，有了兩種思路.有的學生將方程直接等價于極值得出函數值異號，另一種是根據取得極值的自變量a和1比較大小進行分類處理.以上兩種處理方式都是化歸轉化，只是化歸的復雜程度不一樣，第一種化歸處理來得更直接，簡單快捷，而第二種化歸稍復雜了些.這表明化歸轉化的好壞取決于高度的分析概括，而后形成模型，應用時則直接轉化，此調研成果可對解題教學的設計起到指導作用.

（2）問題2的解答效果不是很好，原因應出于解題者對問題的分析概括程度不夠，加之作三條切線的模型可能從未在解題者思維中形成模型，當面臨新的問題的時候，經過分析處理沒有化歸的方向，使得問題的解決效果便不是很好.

（3）問題3的解答效果甚為糟糕，此題還是人教A版必修3課本例題，解決此題有兩個難點，一是準確把握決定幾何概型基本事件的變量，二是要將概率問題轉化為線性規劃問題.線性規劃解決的是兩個變量之間的不等關系問題，于是轉化的難點應在于對變量的準確分析，這在幾何概型中體現為對基本事件的準確分析上.對幾何概型基本事件的準確認識應該是如下的基本過程，多次給出一個具體時間x和y進行探究，在探究中發現決定基本事件的變量有兩個，于是問題的基本事件是一對有序數組（x，y），當x≤y時，事件A發生，列出相應不等關系并得到事件A發生的不等關系，然后聯想到二元一次不等式組，進而轉化為線性規劃問題，當然這是建立在解題者具備線性規劃問題意識的基礎上.

4.教學啟示

化歸轉化需具備兩個條件：①解題者具有高度的分析能力和概括能力；②解題者大腦中必須要有很多的問題模型，用于問題的化歸轉化.所以從教學的角度來講，我們不僅應注重學生大腦中問題模型的建立，也要注重學生分析問題、概括問題、探究問題的思維能力的培養.