巧做向量轉化確定三角形的心

胡筱萌

【摘要】從人教版高中數學教材中可知，向量的引入就是以三角形的邊角關系為鋪墊的.而三角形的邊角關系與三角形的心，在幾何上也是有關聯的.這樣，向量與三角形的心可以通過一定的轉化建立聯系.本文以實例分析了幾種三角形的心與向量的關系，在轉化后明確了二者的聯系.本文提供的解題方法為類似問題的挖掘與探究提供了一個可參考的思路.

【關鍵詞】向量；三角形的心；轉化

在△ABC，通過向量的變換可以確定一個點的位置.事實上，這類關系都是由向量的共線定義等基本定理衍生而來.

現在有A，B，C是平面上不共線的三點，當P分別滿足下列條件時，AP（或BP、CP）過△ABC的何種“心”？

例1OP=OA+λAB|AB|+AC|AC|.

解AB|AB|與AC|AC|分別是AB、AC方向上的單位向量，從而AP=λAB|AB|+AC|AC|.

∴AP必在∠BAC的角平分線上.

∴AP過△ABC內心.

例2OP=OA+λAB|AB|sinB+AC|AC|sinC.

圖1

解不妨假設△ABC為如圖1的鈍角三角形，過A作DA⊥BC交C于D.

∴AP=λAB|AD|+AC|AD|=λ|AD|（AB+AC）.

由向量的三角形法則可知AP必經過BC的中點E，即過△ABC重心.

當△ABC為直角三角形或銳角三角形時，亦同理可證.

變式OP=13（1-λ）OA+（1-λ）OB+（1+2λOC）.

解設OA+OB=OD，

∴OP=2（1-λ）3OD+2（1+2λ）3OC.

∵2（1-λ）3+（1+2λ）3=1，

∴P，D，C共線.

∴AP過△ABC重心.

例3若OP=OA+λAB|AB|cosB+AC|AC|cosC.

圖2

解假設其為如圖2的鈍角三角形，作AD⊥BC與D.

∴AP=λAD+DBBD+AD+DCDC

=λADBD-1+ADDC|+1

=λ1|BD+1DC·AD.

∵λ1BD+1DC|為常數，∴P，D共線.

∴AP過△ABC重心.

例4PA·AB|AB|+CA|CA|=PB·BA|BA|+CB|CB|=PC·CA|CA|+BC|BC|=0.

解由PA·AB|AB|+CA|CA|=0，

圖3

∴PA垂直于△ABC的外角平分線，如圖3所示.

∴PA為內角平分線.

同理可得，PB、PC均為內角平分線.

∴AP過△ABC內心.

針對向量與三角形心的對應關系提出上述解法.可以看出，作圖、轉化與化歸，可以為解向量與三角形關系提供良好的思路，這些思路也可用于解其他有關向量的題，感興趣的讀者不妨深究.